Matrici diagonalizzabili simultaneamente
Buona sera, sono alle prese con il seguente esercizio. Date le seguenti matrici:
$$M(\alpha,\beta)= \begin{pmatrix}
-2 &0 &0 \\
(28+2i)/3+\alpha & i & -2-i\\
8+\beta & 0 & -2
\end{pmatrix} \qquad \qquad B = \begin{pmatrix}
1 & 0&0 \\
-4/3& -1 & 2\\
0& 0 & 1
\end{pmatrix}\qquad \alpha, \beta \in \mathbb C$$
1) Determinare per quali $\alpha$ e $\beta$ le due matrici ammettono almeno un autovettore in comune ( e l'ho fatto)
2) Determinare per quali $\alpha$ e $\beta$ ammettono una base comune di autovettori.
Il problema sorge nella seconda domanda. Generalmente è sufficiente che le due matrici siano normali e che $ [ M,B]=0$, ma mentre si possono trovare $\alpha$ e $\beta$ perché commutino la matrice $B$ non è normale e perciò tale situazione non si verifica. Si potrebbero determinare gli autovettori di entrambe e vedere se per qualche combinazione di $\alpha$ e $\beta$ coincidono .. ma non abbiamo mai affrontato questo tipo di situazione e perciò vorrei sapere se c'è qualche altro modo più rapido per affrontare l'esercizio. Grazie in anticipo per le risposte.
$$M(\alpha,\beta)= \begin{pmatrix}
-2 &0 &0 \\
(28+2i)/3+\alpha & i & -2-i\\
8+\beta & 0 & -2
\end{pmatrix} \qquad \qquad B = \begin{pmatrix}
1 & 0&0 \\
-4/3& -1 & 2\\
0& 0 & 1
\end{pmatrix}\qquad \alpha, \beta \in \mathbb C$$
1) Determinare per quali $\alpha$ e $\beta$ le due matrici ammettono almeno un autovettore in comune ( e l'ho fatto)
2) Determinare per quali $\alpha$ e $\beta$ ammettono una base comune di autovettori.
Il problema sorge nella seconda domanda. Generalmente è sufficiente che le due matrici siano normali e che $ [ M,B]=0$, ma mentre si possono trovare $\alpha$ e $\beta$ perché commutino la matrice $B$ non è normale e perciò tale situazione non si verifica. Si potrebbero determinare gli autovettori di entrambe e vedere se per qualche combinazione di $\alpha$ e $\beta$ coincidono .. ma non abbiamo mai affrontato questo tipo di situazione e perciò vorrei sapere se c'è qualche altro modo più rapido per affrontare l'esercizio. Grazie in anticipo per le risposte.
Risposte
Se non basta l'enunciato:
si può consultare la dimostrazione:
In definitiva, è sufficiente che le due matrici siano diagonalizzabili e che $[M,B]=0$. Dimostrare che $B$ è diagonalizzabile, pur non essendo normale, non richiede molti conti.
si può consultare la dimostrazione:
"Alegomind":
Generalmente è sufficiente che le due matrici siano normali e che $[M,B]=0$ ...
In definitiva, è sufficiente che le due matrici siano diagonalizzabili e che $[M,B]=0$. Dimostrare che $B$ è diagonalizzabile, pur non essendo normale, non richiede molti conti.
"anonymous_0b37e9":
Se non basta l'enunciato:
si può consultare la dimostrazione:
[quote="Alegomind"]
Generalmente è sufficiente che le due matrici siano normali e che $[M,B]=0$ ...
In definitiva, è sufficiente che le due matrici siano diagonalizzabili e che $[M,B]=0$. Dimostrare che $B$ è diagonalizzabile, pur non essendo normale, non richiede molti conti.[/quote]
Ti ringrazio per la risposta, ora il tutto è più semplice. Potresti dirmi da quale libro/dispensa hai preso quella dimostrazione?
Si tratta dell'esercizio 12.5 in fondo alla prima pagina della raccolta allegata. Ne ho fatto un teorema. 
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