Matrici diagonalizzabili e nilpotenti

nick_10
Salve a tutti! Propongo questo esercizio su cui ho dei dubbi.
"Fissato $n>=1$, siano $A,B in M(n,CC)$ due matrici tali che $AB=BA$. Dimostrare le seguenti affermazioni:
1)A,B diagonalizzabili $=>$ A+B diagonalizzabile
2)A,B nilpotenti $=>$ A+B nilpotente
3) Esistono $C,N in M(n,CC)$, $C$ diagonalizzabile, N nilpotente, tali che CN=NC e A=C+N

Ho fatto il primo punto che non è sembrato molto complicato. Per il secondo avevo pensato al binomio di newton....
Il terzo nessuna idea

Risposte
spugna2
Per il terzo puoi usare la forma di Jordan: si ha $A=MJM^(-1) $, dove $J $ è una matrice triangolare superiore e diagonale a blocchi, e in particolare si può esprimere come $D+U $, con $D $ diagonale e $U $ nilpotente. A questo punto basta prendere $C=M^(-1)DM $ e $N=M^(-1)UM $.

Resta solo da mostrare che $DU=UD $ (da cui $CN=NC $): sono entrambe diagonali a blocchi, quindi commutano se e solo se lo fanno i singoli blocchi, ma quelli di $D $ sono del tipo $lambda I $ (al variare di $lambda $ tra gli autovalori di $A $).

nick_10
Grazie! Chiarissimo ;)

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.