Matrici diagonalizzabili complesse
Ecco un problema che non riesco a risolvere ma sembra interessante:
dimostrare che $\forall epsilon>0$ e per ogni $A$ matrice complessa $ntimesn$ esiste una matrice $D$ diagonalizzabile tale che $||A-D||_2
Il testo riporta anche un suggerimento: sfruttare la forma di Schur - ovvero il fatto che ogni matrice quadrata complessa è simile mediante matrici unitarie ad una matrice triangolare superiore.
Ah e naturalmente $||A||_2=max{||Ax||_2\ |\ x\in CC^n, ||x||_2=1}=sqrt(rho(A^HA))$ dove $A^H$ indica la trasposta coniugata e $rho$ il raggio spettrale, ovvero il massimo dei moduli degli autovalori.
Come al solito, più che la soluzione vorrei ricevere qualche input perché poi possa arrivare a risolvere il problema da solo.
Ciao!
dimostrare che $\forall epsilon>0$ e per ogni $A$ matrice complessa $ntimesn$ esiste una matrice $D$ diagonalizzabile tale che $||A-D||_2
Il testo riporta anche un suggerimento: sfruttare la forma di Schur - ovvero il fatto che ogni matrice quadrata complessa è simile mediante matrici unitarie ad una matrice triangolare superiore.
Ah e naturalmente $||A||_2=max{||Ax||_2\ |\ x\in CC^n, ||x||_2=1}=sqrt(rho(A^HA))$ dove $A^H$ indica la trasposta coniugata e $rho$ il raggio spettrale, ovvero il massimo dei moduli degli autovalori.
Come al solito, più che la soluzione vorrei ricevere qualche input perché poi possa arrivare a risolvere il problema da solo.
Ciao!
Risposte
Scrivo meglio la forma canonica di Schur:
sia $A$ una matrice complessa $n times n$. Allora esiste una matrice unitaria $U$ ($U^HU=I$) tale che $U^HAU=T=[[lambda_1\ **\ **\ ldots\ **],[0\ lambda_2\ **\ ldots\ **],[vdots],[0\ 0\ 0\ ldots\ lambda_n]]$ e chiaramente $lambda_1, ldots, lambda_n$ sono gli autovalori di $A$. Possiamo anche scrivere $T= D + N$ dove $D$ è una matrice diagonale e $N$ è una matrice strettamente triangolare superiore (e quindi anche nilpotente).
Penso perciò che questo teorema ci permetta di spostare il problema di sopra alle sole matrici triangolari. Infatti da $U^HAU=T$ ricaviamo $A=UTU^H$; $||A-D||_2=||U(T-D')U^H||_2=||T-D'||_2$ (dove $D'$ è ancora una matrice diagonalizzabile) perché le matrici unitarie non alterano la norma 2.
Si tratta allora di trovare, per ogni $epsilon$ e per ogni matrice $T$ triangolare superiore, una matrice diagonalizzabile $D$ tale che $||T-D||_2
Immagino che dobbiamo cercare $D$ tra le matrici diagonali...Qualche idea?
sia $A$ una matrice complessa $n times n$. Allora esiste una matrice unitaria $U$ ($U^HU=I$) tale che $U^HAU=T=[[lambda_1\ **\ **\ ldots\ **],[0\ lambda_2\ **\ ldots\ **],[vdots],[0\ 0\ 0\ ldots\ lambda_n]]$ e chiaramente $lambda_1, ldots, lambda_n$ sono gli autovalori di $A$. Possiamo anche scrivere $T= D + N$ dove $D$ è una matrice diagonale e $N$ è una matrice strettamente triangolare superiore (e quindi anche nilpotente).
Penso perciò che questo teorema ci permetta di spostare il problema di sopra alle sole matrici triangolari. Infatti da $U^HAU=T$ ricaviamo $A=UTU^H$; $||A-D||_2=||U(T-D')U^H||_2=||T-D'||_2$ (dove $D'$ è ancora una matrice diagonalizzabile) perché le matrici unitarie non alterano la norma 2.
Si tratta allora di trovare, per ogni $epsilon$ e per ogni matrice $T$ triangolare superiore, una matrice diagonalizzabile $D$ tale che $||T-D||_2
Immagino che dobbiamo cercare $D$ tra le matrici diagonali...Qualche idea?
Cosa intendi con la norma di matrici?
Io proverei a verificare la cosa in norma $infty$ e usare l'equivalenza delle norme....ma non ne sono sicuro.
Ciao dorian!!! Allora, spiego meglio i simboli a cui mi riferisco:
$\forall x=(x_1, ldots, x_n)^T\inCC^n$, $||x||_2:=sqrt(sum_{i=1}^n|x_i|^2)=sqrt(x^Hx)$ dove $x^H$ è il trasposto coniugato di $x$;
$\forall A\in M_n(CC), ||A||_2:=max{||Ax||_2\ |\ x\inCC^n,\ ||x||_2=1}$ (norma indotta).
In termini geometrici la norma indotta è il massimo che l'applicazione lineare $CC^n\toCC^n$ associata ad $A$ assume sulla sfera di centro l'origine e raggio 1.
Si dimostra che $\forall A\in M_n(CC), ||A||_2=sqrt(rho(A^HA))$, dove per $rho$ intendo il raggio spettrale, ovvero il massimo modulo degli autovalori di $A^HA$.
[edit] @megan00b: in effetti con un'altra norma come $||cdot||_infty$ avremmo una espressione più esplicita per $||A-D||=||U(T-D')U^H||$. Voglio provare a combinare questa idea con un procedimento induttivo, e vedere che succede.
$\forall x=(x_1, ldots, x_n)^T\inCC^n$, $||x||_2:=sqrt(sum_{i=1}^n|x_i|^2)=sqrt(x^Hx)$ dove $x^H$ è il trasposto coniugato di $x$;
$\forall A\in M_n(CC), ||A||_2:=max{||Ax||_2\ |\ x\inCC^n,\ ||x||_2=1}$ (norma indotta).
In termini geometrici la norma indotta è il massimo che l'applicazione lineare $CC^n\toCC^n$ associata ad $A$ assume sulla sfera di centro l'origine e raggio 1.
Si dimostra che $\forall A\in M_n(CC), ||A||_2=sqrt(rho(A^HA))$, dove per $rho$ intendo il raggio spettrale, ovvero il massimo modulo degli autovalori di $A^HA$.
[edit] @megan00b: in effetti con un'altra norma come $||cdot||_infty$ avremmo una espressione più esplicita per $||A-D||=||U(T-D')U^H||$. Voglio provare a combinare questa idea con un procedimento induttivo, e vedere che succede.
Forse ho trovato l'inghippo. Esiste infatti un lemma, che cito:
A grandi linee la mia idea è questa:
sia $A\inM_n(CC)$ allora (Schur) esiste una matrice (unitaria) $U$ tale che $A=U(D + N)U^(-1)$, dove $D$ è diagonale e $N$ strettamente triangolare superiore. In particolare $UDU^(-1)$ è diagonalizzabile. Inoltre $(A - UDU^(-1))=UNU^(-1)$ e quindi $(A - UDU^(-1))$ ha solo l'autovalore 0, in quanto simile ad una matrice strettamente triangolare. Quindi $rho(A - UDU^(-1))=0$ e applicando il lemma esiste una norma di matrici $||cdot||$ tale che $||A - UDU^(-1)||<=0 + epsilon$. Si tratterebbe adesso di applicare l'equivalenza delle norme citata prima da megan00b.
Non so però se questo discorso sia corretto. Ho la sensazione di aver sbagliato qualcosa, perché la matrice diagonalizzabile dipende solo da $A$ e non da $epsilon$.
Sia $A$ matrice complessa $n times n$. Detto $rho(A)$ il massimo modulo dei suoi autovalori, per ogni $epsilon>0$ esiste una norma di matrici $||cdot||$ tale che $||A||<=rho(A)+epsilon$.
A grandi linee la mia idea è questa:
sia $A\inM_n(CC)$ allora (Schur) esiste una matrice (unitaria) $U$ tale che $A=U(D + N)U^(-1)$, dove $D$ è diagonale e $N$ strettamente triangolare superiore. In particolare $UDU^(-1)$ è diagonalizzabile. Inoltre $(A - UDU^(-1))=UNU^(-1)$ e quindi $(A - UDU^(-1))$ ha solo l'autovalore 0, in quanto simile ad una matrice strettamente triangolare. Quindi $rho(A - UDU^(-1))=0$ e applicando il lemma esiste una norma di matrici $||cdot||$ tale che $||A - UDU^(-1)||<=0 + epsilon$. Si tratterebbe adesso di applicare l'equivalenza delle norme citata prima da megan00b.
Non so però se questo discorso sia corretto. Ho la sensazione di aver sbagliato qualcosa, perché la matrice diagonalizzabile dipende solo da $A$ e non da $epsilon$.
Resuscito questo vecchio topic perché improvvisamente mi è venuta un'idea. Illustro la mia trovata con un esempio. Prendiamo la matrice non diagonalizzabile $[[1,1],[0,1]]$, e consideriamo la successione $[[1,1], [0,1-1/n]]$ E' chiaro che questa successione converge a $[[1,1],[0,1]]$, e inoltre ogni sua matrice è diagonalizzabile perché ha gli autovalori distinti $1, 1-1/n$.
Si tratta allora di generalizzare, ma l'idea di fondo è questa: ogni matrice triangolare è il limite di una successione di matrici triangolari con valori tutti diversi sulla diagonale principale. Può funzionare?
Si tratta allora di generalizzare, ma l'idea di fondo è questa: ogni matrice triangolare è il limite di una successione di matrici triangolari con valori tutti diversi sulla diagonale principale. Può funzionare?
Perdona la mia ignoranza: ho capito cosa intendi per $||*||_2$. Ora mi rimane da capire cosa intendi per $sqrt(rhoA^HA)$.
Conosco $rho$ e $A^H$, però non mi è chiara la radice! In altre parole, cosa vuol dire "calcolare la radice quadrata di una matrice"?
Conosco $rho$ e $A^H$, però non mi è chiara la radice! In altre parole, cosa vuol dire "calcolare la radice quadrata di una matrice"?
Ciao Dorian! "Calcolare la radice quadrata di una matrice" magari avrà pure un senso, ma in questo caso quella $sqrt(*)$ è proprio la radice quadrata reale "normale". Infatti con $rho$ intendo il cosiddetto raggio spettrale, cioè il massimo tra i moduli degli autovalori. Quindi $rho(A^HA)$ è il massimo tra i moduli degli autovalori della matrice $A$ trasposta e coniugata per la matrice $A$. Tutto questo si riduce, se $A$ è un vettore, alla norma 2 per vettori di cui questa è una generalizzazione.
"dissonance":
Ciao Dorian! "Calcolare la radice quadrata di una matrice" magari avrà pure un senso, ma in questo caso quella $sqrt(*)$ è proprio la radice quadrata reale "normale". Infatti con $rho$ intendo il cosiddetto raggio spettrale, cioè il massimo tra i moduli degli autovalori. Quindi $rho(A^HA)$ è il massimo tra i moduli degli autovalori della matrice $A$ trasposta e coniugata per la matrice $A$. Tutto questo si riduce, se $A$ è un vettore, alla norma 2 per vettori di cui questa è una generalizzazione.
Ho capito! Ti ringrazio. Ciò che vedevo era il prodotto tra 2 matrici ($A$ e $A^H$), moltiplicato per lo scalare $rho$... Quindi sotto la radice vedevo una matrice!
"dissonance":
Inoltre $(A - UDU^(-1))=UNU^(-1)$ e quindi $(A - UDU^(-1))$ ha solo l'autovalore 0, in quanto simile ad una matrice strettamente triangolare.
...forse volevi dire 'simile ad una matrice nilpotente'... Giusto? Altrimenti non ti seguo...
Andrebbe bene dire entrambe le cose. Infatti le matrici strettamente triangolari sono sempre nilpotenti: per una dimostrazione "a vista", vediamo che, se $T$ è str. triangolare superiore, allora $T*T$ ha la sopradiagonale principale (gli elementi di indici $i, i+1$) nulla. E analogamente, ogni potenza $T^k$ ha nulle le diagonali: principale, una sopra la principale ... k-1 sopra la principale. Dopo al più n+1 potenze, $T^k$ è la matrice nulla. La dimostrazione è un po' alla buona, se ne hai voglia la puoi mettere a punto (non mi convince il fatto che il periodo(*) sia $n+1$...mi pare che dovesse essere $n$, forse ho sbagliato qualcosa).
P.S.: Ah naturalmente qui (*) c'è un errore. Non è detto che questo sia il periodo, però sicuramente questa potenza si annulla.
P.S.: Ah naturalmente qui (*) c'è un errore. Non è detto che questo sia il periodo, però sicuramente questa potenza si annulla.
"dissonance":
Andrebbe bene dire entrambe le cose. Infatti le matrici strettamente triangolari sono sempre nilpotenti: per una dimostrazione "a vista", vediamo che, se $T$ è str. triangolare superiore, allora $T*T$ ha la sopradiagonale principale (gli elementi di indici $i, i+1$) nulla. E analogamente, ogni potenza $T^k$ ha nulle le diagonali: principale, una sopra la principale ... k-1 sopra la principale. Dopo al più n+1 potenze, $T^k$ è la matrice nulla. La dimostrazione è un po' alla buona, se ne hai voglia la puoi mettere a punto (non mi convince il fatto che il periodo(*) sia $n+1$...mi pare che dovesse essere $n$, forse ho sbagliato qualcosa).
P.S.: Ah naturalmente qui (*) c'è un errore. Non è detto che questo sia il periodo, però sicuramente questa potenza si annulla.
Mi è sfuggito quel "strettamente" (che comunque mi suona nuovo!)! Se non ho capito male, una matrice si dice strettamente triangolare se è triangolare con $0$ sulla diagonale... Giusto?
"dissonance":
Andrebbe bene dire entrambe le cose. Infatti le matrici strettamente triangolari sono sempre nilpotenti: per una dimostrazione "a vista", vediamo che, se $T$ è str. triangolare superiore, allora $T*T$ ha la sopradiagonale principale (gli elementi di indici $i, i+1$) nulla. E analogamente, ogni potenza $T^k$ ha nulle le diagonali: principale, una sopra la principale ... k-1 sopra la principale. Dopo al più n+1 potenze, $T^k$ è la matrice nulla. La dimostrazione è un po' alla buona, se ne hai voglia la puoi mettere a punto (non mi convince il fatto che il periodo(*) sia $n+1$...mi pare che dovesse essere $n$, forse ho sbagliato qualcosa).
P.S.: Ah naturalmente qui (*) c'è un errore. Non è detto che questo sia il periodo, però sicuramente questa potenza si annulla.
$A in M_n(CC)$ è strettamente triangolare $=>$ $EE k in NN : A^k=0_n$
Dimostrazione: sulla diagonale di $A$ figurano solo zeri, quindi $0$ è l'unico autovalore per $A$. Questo significa che il polinomio caratteristico di $A$ è $x^n$. Per il teorema di Hamilton-Cayley si conclude, poichè $A^n=0_n$, dunque $k=n$. CVD
Come diceva Dissonance, $n$ non è necessariamente il periodo dell'applicazione lineare descritta dalla matrice; tuttavia il periodo è l'esponente del polinomio minimo! (il polinomio minimo sarà $x^m$, con $m le n$)
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