Matrici diagonalizzabili a blocchi
Ciao a tutti!!! Sono uno studente iscritto alla facoltà di Chimica, e sono alle prese con lo studio di Istituzioni di Matematica 2...
Tra i vari argomenti del corso, ce n'è uno particolarmente ostico, che riguarda la teoria di gruppi...in particolare, questo argomento è trattato parecchio dal punto di vista delle rappresentazioni matriciali di un gruppo, e questo è, per me, un po' un problema in quanto le nozioni acquisite in un precedente corso di Algebra Lineare (di soli 3 crediti) non sono sufficienti ad affrontare in maniera adeguata questo argomento. Pertanto mi chiedo se fosse possibile porvi alcune domande...
1) In un esercizio si chiede di stabilire se una certa rappresentazione sia irriducibile o meno...ora, so che una rappresentazione è riducibile se esiste una matrice del cambiamento di base P, invertibile, tale che, effettuando l'operazione P^-1MP per tutte le matrici M della rappresentazione in questione, ottengo come risultato delle matrici diagonali a blocchi... Dal corso di Algebra Lineare so i criteri di diagonalizzabilità di una matrice M, cioè so quando è possibile trasformare una matrice M in un'altra diagonale (cioè con blocchi tutti 1x1). Se invece una matrice non è diagonalizzabile (cioè trasformarla in una matrice diagonale con blocchi 1x1), ma è comunque riducibile ad una forma diagonale a blocchi (con blocchi non tutti 1x1), come faccio a stabilirlo? In altre parole, come posso stabilire (se esiste) e come posso trovare praticamente questa matrice del cambiamento di base P che mi permetta (qualora la matrice M nn è diagonalizzabile a blocchi tutti 1x1) di renderla almeno diagonale a blocchi non tutti 1x1?
2) Si è accennato poi al fatto che una rappresentazione riducibile ha sottospazi invarianti...però nel corso di algebra lineare non si è studiato cosa siano i sottospazi invarianti...
Purtroppo questa parte del corso non è trattata sul libro di testo che ci è stato consigliato a lezione e non ho trovato nessun testo che presentasse l'argomento da un punto di vista simile a quello in cui ci è stato presentato...
Chiedo quindi aiuto a voi, pregandovi di esprimervi nel linguaggio più semplice possibile, proprio perchè le mie conoscenze di Algebra Lineare sono abbastanza limitate, e scusandomi sin da ora qualora non fossi stato sufficientemente chiaro nell'esporvi le mie domande...aspetto una vostra risposta!!!
Tra i vari argomenti del corso, ce n'è uno particolarmente ostico, che riguarda la teoria di gruppi...in particolare, questo argomento è trattato parecchio dal punto di vista delle rappresentazioni matriciali di un gruppo, e questo è, per me, un po' un problema in quanto le nozioni acquisite in un precedente corso di Algebra Lineare (di soli 3 crediti) non sono sufficienti ad affrontare in maniera adeguata questo argomento. Pertanto mi chiedo se fosse possibile porvi alcune domande...
1) In un esercizio si chiede di stabilire se una certa rappresentazione sia irriducibile o meno...ora, so che una rappresentazione è riducibile se esiste una matrice del cambiamento di base P, invertibile, tale che, effettuando l'operazione P^-1MP per tutte le matrici M della rappresentazione in questione, ottengo come risultato delle matrici diagonali a blocchi... Dal corso di Algebra Lineare so i criteri di diagonalizzabilità di una matrice M, cioè so quando è possibile trasformare una matrice M in un'altra diagonale (cioè con blocchi tutti 1x1). Se invece una matrice non è diagonalizzabile (cioè trasformarla in una matrice diagonale con blocchi 1x1), ma è comunque riducibile ad una forma diagonale a blocchi (con blocchi non tutti 1x1), come faccio a stabilirlo? In altre parole, come posso stabilire (se esiste) e come posso trovare praticamente questa matrice del cambiamento di base P che mi permetta (qualora la matrice M nn è diagonalizzabile a blocchi tutti 1x1) di renderla almeno diagonale a blocchi non tutti 1x1?
2) Si è accennato poi al fatto che una rappresentazione riducibile ha sottospazi invarianti...però nel corso di algebra lineare non si è studiato cosa siano i sottospazi invarianti...
Purtroppo questa parte del corso non è trattata sul libro di testo che ci è stato consigliato a lezione e non ho trovato nessun testo che presentasse l'argomento da un punto di vista simile a quello in cui ci è stato presentato...
Chiedo quindi aiuto a voi, pregandovi di esprimervi nel linguaggio più semplice possibile, proprio perchè le mie conoscenze di Algebra Lineare sono abbastanza limitate, e scusandomi sin da ora qualora non fossi stato sufficientemente chiaro nell'esporvi le mie domande...aspetto una vostra risposta!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo