Matrici diagonalizzabili

[merdacacca]

Ho la matrice

$A = ((1,2,1),(0,2,0),(1,-2,1))$

Devo vedere se la matrice è diagonalizzabile e in caso affermativo calcolare la diagonale.
So che una matrice è diagonalizzabile quando:

1)Il numero degli autovalori, contati con la loro molteplicità, sia pari all'ordine della matrice.
2)La molteplicità geometrica di ciascun autovalore coincida con la relativa molteplicità algebrica.

Allora trovo il polinomio caratteristico della Matrice A. Che è:

$ x^3 - 4x^2 - 4x = 0 $
che diventa
$ x(x^2 - 4x + 4) $
Si vede subito che gli autovalori sono
$ x = 0 con mol 1 $
$ x = 2 con mol 2 $

Essendo che è una matrice 3*3 ed il numero degli autovettori sono 3 allora è soddisfatta la prima condizione.
Vedo poi che anche la seconda condizione è soddisfatta. Quindi la matrice è diagonalizzabile.
Mo la devo diagonalizzare. Quindi trovo i vettori.

Autovettore per l'autovalore x = 0;

Mi trovo il seguente sistema:

$\{(x + 2y + z = 0),(4y = 0),(x - 2y + z = 0):}$
che diventa
$\{(x + z = 0),(y = 0),(x + z = 0):}$
$\{(x = -z),(y = 0),(0 = 0):}$

Uso come parametro $ -z $ e gli do valore $ z = 1 $
Quindi il primo vettore diventa $ v = (-1, 0, 1) $

Ora trovo l'autovettore relativo all'autovalore x = 2
Viene il seguente sistema

$\{(x + 2y + z = 0),(x - 2y -z = 0) :}$
che diventa
$\{(x = -2y + 2y),(z = -2y) :}$
$\{(x = 0),(z = -2y) :}$

ponendo y = 1 il vettore diventa $ v = (0, 1, -2) $

poi devo trovare un'altro vettore perché ha mol 2.
Quindi trovo quello di y = 2.
$v = (0, 2, -4)$

La matrice diventa

$A = ((-1,0,1),(0,1,-2),(0,2,-4))$

Ora vorrei sapere: ho fatto bene tutti i procedimenti ?. Grazie

[Silente]

2)La molteplicità geometrica di ciascun autovalore coincida con la relativa molteplicità algebrica.

Basta solo questa.

[merdacacca]

quindi gli autovettori che mi sono trovati sono sbagliati ?

[merdacacca]

Grazie mille sei un grande. Domani posto un'altro esercizio svolto.

[Silente]

"Sergio":
Se \(A\in M_n(\mathbb{C})\) sì, se invece \(A\in M_n(\mathbb{R})\) è necessaria anche la prima: il polinomio caratteristico deve ammettere \(n\) soluzioni reali.

Ciao Sergio, scusa ma la proposizione "è diagonalizzabile se ha n autovalori distinti" è inclusa in "è diagonalizzabile se la molt. algebrica di ogni autovalore coincide con quella geometrica", no?
Infatti ne rappresenta solo un caso particolare dove la molteplicità algebrica (uguale a quella geometrica) è 1 per ogni autovalore.

[Silente]

Thanks