Matrici diagonalizzabili

[Lorenzo Pantieri]

Esercizio. Se $A$ è una matrice diagonalizzabile e $AB=BA$, si può concludere che $B$ è diagonalizzabile?

Grazie a chi saprà aiutarmi!

[Lorenzo Pantieri]

"Sergio":[quote="Lorenzo Pantieri"]Esercizio. Se $A$ è una matrice diagonalizzabile e $AB=BA$, si può concludere che $B$ è diagonalizzabile?

Temo di no. Se anche \(B\) è diagonalizzabile, le due matrici sono simultaneamente diagonalizzabili[nota]Horn e Johnson, Matrix Analysis, Teoremi 1.3.12 e 1.3.19.[/nota].
In generale, però, se due matrici commutano sono simultaneamente triangolarizzabili (condizione sufficiente, non necessaria)[nota]Horn e Johnson, Teorema 2.3.3.[/nota] e possono non essere entrambe diagonalizzabili.
Controesempio:[nota]Adattato da http://fr.wikipedia.org/wiki/Paire_de_m ... ommutantes[/nota]
\[A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}\qquad
B=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]
\(A\) è diagonalizzabile, \(AB=BA\), ma \(B\) non è diagonalizzabile.[/quote]
IL tuo controesempio è ineccepibile. Grazie mille, Sergio (anche per le altre preziose indicazioni)!

[Lemniscata1]

Forse sto dicendo una fesseria, ma se prendiamo $A=I$ l'enunciato è chiaramente falso. Qualunque matrice commuta con l'identità ma non tutte sono diagonalizzabili. Cosa sto sbagliando?