Matrici di una conica nel piano proiettivo
Due equazioni algebriche sono equivalenti se e solo se i coefficienti delle due equazioni sono proporzionali (tutti secondo lo stesso fattore di proporzionalità). - [cit. la mia professoressa stamane, distrattamente]
O io e la prof. intendiamo due cose differenti per equazione algebrica, o lei ha detto una cavolata: in $RR$, le $[x^2+y^2=0]$ e $[x^2+2y^2=0]$ sono equivalenti, ma $(1,1)$ non si sogna in alcun modo di essere proporzionale a $(1,2)$.
Il problema nasce da questo fatto: è vero che due matrici $A,A'$ che, nello stesso riferimento, rappresentano una stessa conica $\mathcal{C}$ di un piano proiettivo, sono necessariamente proporzionali? (i.e. $A'=\lambda A$, $\lambda$ scalare non nullo). A questa mia domanda la prof. ha risposto ciò che ho citato.
Dove sbaglio/a?
O io e la prof. intendiamo due cose differenti per equazione algebrica, o lei ha detto una cavolata: in $RR$, le $[x^2+y^2=0]$ e $[x^2+2y^2=0]$ sono equivalenti, ma $(1,1)$ non si sogna in alcun modo di essere proporzionale a $(1,2)$.
Il problema nasce da questo fatto: è vero che due matrici $A,A'$ che, nello stesso riferimento, rappresentano una stessa conica $\mathcal{C}$ di un piano proiettivo, sono necessariamente proporzionali? (i.e. $A'=\lambda A$, $\lambda$ scalare non nullo). A questa mia domanda la prof. ha risposto ciò che ho citato.
Dove sbaglio/a?
Risposte
siccome le coniche sono studiate nel piano complessificato ampliato ,evidentemente la tua prof intendeva "equivalenti nell'insieme dei numeri complessi"
Il discorso era fatto in generale, sia per piani reali, sia per piani complessi che per estensioni complesse di piani reali 
Ad ogni modo, è così ovvio che in $CC$ (e quindi, suppongo, in un campo algebricamente chiuso) valga questo fatto?
Ad ogni modo, è così ovvio che in $CC$ (e quindi, suppongo, in un campo algebricamente chiuso) valga questo fatto?
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