Matrici di trasposizione
Ciao,
Devo svolgere un esercizio:
Risolvere dei sistemi lineari. Per ogni sistema lineare Ax = b risolto, ricavare la matrice di trasformazione P corrispondente all'operazione di riduzione e verificare che PAx = Pb corrisponde al sistema ridotto.
Es: ho il sistema
$\{(2x_1 + x_2 = 1),(x_2 + 3x_3 = 2),(x_1 + 2x_3 +2x_4 = 2):}$
Quindi la matrice completa è:
$((2,0,1,0,1),(0,1,3,0,2),(1,0,2,2,2))$
Invertendo la riga 1 con la riga 3 e dividendo la riga 3 per -3 ottengo la matrice ridotta:
$((1,0,2,2,2),(0,1,3,0,2),(0,0,1,4/3,1))$
Ora, se ho capito bene, devo prendere una matrice identità e eseguire su essa le stesse operazioni che ho fatto sulla matrice A e poi moltiplicare la matrice identità trasformata P e A originale e dovrei ottenere la matrice A modificata giusto?
Ma come la prendo la matrice identità? quanto grande?
Qualcuno potrebbe aiutarmi magari finendomi l'esercizio in modo che possa capire bene?
grazie!
[xdom="Martino"]Sposto in Algebra Lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/xdom]
Devo svolgere un esercizio:
Risolvere dei sistemi lineari. Per ogni sistema lineare Ax = b risolto, ricavare la matrice di trasformazione P corrispondente all'operazione di riduzione e verificare che PAx = Pb corrisponde al sistema ridotto.
Es: ho il sistema
$\{(2x_1 + x_2 = 1),(x_2 + 3x_3 = 2),(x_1 + 2x_3 +2x_4 = 2):}$
Quindi la matrice completa è:
$((2,0,1,0,1),(0,1,3,0,2),(1,0,2,2,2))$
Invertendo la riga 1 con la riga 3 e dividendo la riga 3 per -3 ottengo la matrice ridotta:
$((1,0,2,2,2),(0,1,3,0,2),(0,0,1,4/3,1))$
Ora, se ho capito bene, devo prendere una matrice identità e eseguire su essa le stesse operazioni che ho fatto sulla matrice A e poi moltiplicare la matrice identità trasformata P e A originale e dovrei ottenere la matrice A modificata giusto?
Ma come la prendo la matrice identità? quanto grande?
Qualcuno potrebbe aiutarmi magari finendomi l'esercizio in modo che possa capire bene?
grazie!
[xdom="Martino"]Sposto in Algebra Lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/xdom]
Risposte
No, che casino. C'è un algoritmo proprio per questa cosa: si scrive la matrice \(A\) e le si affianca a destra una matrice identica. Poi si riduce tutto per righe e alla fine, dove c'era la matrice identica, compare la matrice \(P\) richiesta. Te l'hanno insegnato di sicuro, oppure c'è sul tuo libro, cerca bene.
Ciao dissonance, grazie per la risposta. 
Si so come trovare la matrice inversa con quel metodo, ma in questo esercizio mi si chiede un'altra cosa..
Si so come trovare la matrice inversa con quel metodo, ma in questo esercizio mi si chiede un'altra cosa..
Quel metodo non serve solo a calcolare l'inversa. Con qualche piccola modifica serve pure a trovare la \(P\) in questo esercizio. Cerca bene.
Ah, non lo sapevo..Qualche piccola modifica vuol dire? Sul libro ho cercato..
In pratica devi trovare la decomposizione LU. O meglio l'inverso della L della decomposizione LU (eventualmente moltiplicato per la matrice di permutazione).
"vict85":
In pratica devi trovare la decomposizione LU. O meglio l'inverso della L della decomposizione LU (eventualmente moltiplicato per la matrice di permutazione).
Scusa ma non c'ho capito nulla
OK, allora prendila come un "P è una matrice triangolare inferiore eventualmente moltiplicata per una matrice di permutazione".
"vfldj":
Ah, non lo sapevo..Qualche piccola modifica vuol dire? Sul libro ho cercato..
Vuol dire che devi seguire lo stesso algoritmo, ma fermarti prima. Affianca le due matrici così:
\[\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\
0&1&3&0&2&|&0&1&0\\
1&0&2&2&2&|&0&0&1\end{pmatrix}\]
quindi riduci per righe finché la matrice di sinistra non è diventata la matrice ridotta
\[\begin{pmatrix}1 & 0 & 2&2&2\\ 0& 1 & 3&0&2\\ 0& 0 &1&4/3&1\end{pmatrix}.\]
A questo punto dove prima c'era la matrice identica ci sarà la tua matrice \(P\). Rifletti bene sul motivo per cui accade questo.
Ho capito, grazie..Gentilissimo 
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