Matrici di passaggio tra basi ortonormali in Spazi Vettoriali Euclidei
Potreste indicarmi se e dove sbaglio?
Siano $B = {$ $e_i$ $}$ e $B' = {$ $e_j$ $}$ con $i,j = 1, ... , n $ , basi di uno Spazio Vettoriale Euclideo $(Vn, <,>)$ .
Sia $P$ la matrice di passaggio dalla base $B$ alla base $B'$ . Se $B$ è ortonormale, lo sarà anche $B'$ se e solo se $P^t$ $P = $ $I_n$ .
In più si verifica che la matrice $P$, oltre ad essere invertibile, in quanto matrice di cambiamento di base, è anche ortogonale, in quanto la sua inversa coincide con la trasposta.
Confermate?
Siano $B = {$ $e_i$ $}$ e $B' = {$ $e_j$ $}$ con $i,j = 1, ... , n $ , basi di uno Spazio Vettoriale Euclideo $(Vn, <,>)$ .
Sia $P$ la matrice di passaggio dalla base $B$ alla base $B'$ . Se $B$ è ortonormale, lo sarà anche $B'$ se e solo se $P^t$ $P = $ $I_n$ .
In più si verifica che la matrice $P$, oltre ad essere invertibile, in quanto matrice di cambiamento di base, è anche ortogonale, in quanto la sua inversa coincide con la trasposta.
Confermate?
Risposte
Esatto, la matrice di cambiamento di riferimento da uno ortonormale ad uno altro ortonormale è ortogonale.
Grazie per la risposta.
La seguente potrebbe essere una dimostrazione?
L'i-sima colonna della matrice $P$ rapprensenta le coordinate di $e_i$ rispetto a $B$ . Quindi $e_i^{\prime}$ $ = $ $sum_h \ $ $p_hi$ $e_h$ .
Allora $<$ $e_i^{\prime} $ $,$ $e_j^{\prime} $ $> = $< $sum_(h=1)^n $ $p_hi $ $e_h$ $, sum_(k=1)^n $ $ p_kj $ $e_k$$>$ $ = sum_(h,k = 1)^n $ $p_hi$ $ pkj $ $< $ $e_h$ $, $ $ e_k$ $> = $ $sum_(h,k = 1)^n $ $p_hi $ $pk_j $ $delta_hk$ $ = $ $ sum_(h = 1)^n $ $ ph_i$ $ ph_j$
Quindi $<$ $ e_i^{\prime}$ $, $ $e_j^{\prime} $ $>$ è uguale al prodotto della i-sima riga di $P^t$ per la j-sima colonna di $P$.
Pertanto $<$ $e_i^{\prime}$ $,$ $e_j^{\prime}$ $ > = $ $delta_ij$ se e solo se $P^t$ $P = $ $I_n$
Potreste indicarmi se e dove sbaglio?
La seguente potrebbe essere una dimostrazione?
L'i-sima colonna della matrice $P$ rapprensenta le coordinate di $e_i$ rispetto a $B$ . Quindi $e_i^{\prime}$ $ = $ $sum_h \ $ $p_hi$ $e_h$ .
Allora $<$ $e_i^{\prime} $ $,$ $e_j^{\prime} $ $> = $< $sum_(h=1)^n $ $p_hi $ $e_h$ $, sum_(k=1)^n $ $ p_kj $ $e_k$$>$ $ = sum_(h,k = 1)^n $ $p_hi$ $ pkj $ $< $ $e_h$ $, $ $ e_k$ $> = $ $sum_(h,k = 1)^n $ $p_hi $ $pk_j $ $delta_hk$ $ = $ $ sum_(h = 1)^n $ $ ph_i$ $ ph_j$
Quindi $<$ $ e_i^{\prime}$ $, $ $e_j^{\prime} $ $>$ è uguale al prodotto della i-sima riga di $P^t$ per la j-sima colonna di $P$.
Pertanto $<$ $e_i^{\prime}$ $,$ $e_j^{\prime}$ $ > = $ $delta_ij$ se e solo se $P^t$ $P = $ $I_n$
Potreste indicarmi se e dove sbaglio?
Detta B la matrice di passaggio da un riferimento R ad un riferimento R', e siano S la matrice associata al prodotto scalare in R e S' la matrice associata al prodotto scalare in R' (la matrice S, come S', ha al posto ij il prodotto scalare tra i versori ei ed ej del riferimento R). Banalmente segue che $ B^tS'B=S $.
Siccome S ed S' sono la matrice identica in un riferimento ortonormale, allora B è ortogonale.
Siccome S ed S' sono la matrice identica in un riferimento ortonormale, allora B è ortogonale.
Nel forum si può postare un estratto di un pdf?
per vedere se effettivamente la dimostrazione che ho postato ha senso (magari ho sbagliato a copiare).
comunque,, riusciresti a spiegarmi perchè è uno spazio vettoriale.
Io avrei risposto che è un prodotto scalare relativo ad uno spazio vettoriale euclideo.
per vedere se effettivamente la dimostrazione che ho postato ha senso (magari ho sbagliato a copiare).
comunque,
Io avrei risposto che è un prodotto scalare relativo ad uno spazio vettoriale euclideo.
mi potreste, gentilmente, aiutare a capire questa dimostrazione?
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