Matrici di cambiamento di base

[korat1]

Allora, sul libro di teoria leggo questo:

Ogni volta che abbiamo due basi B e B' di uno spazio vettoriale V troviamo una matrice invertibile che trasforma le coordinate rispetto a B' nelle coordinate rispetto a B.
In concreto, preso un vettore v di V indichiamo con
x le sue coordinate rispetto a B
x' le sue coordinate rispetto a B'
Allora si ha: x=A x'
dove A è la matrice del cambio da B a B'
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Ma sugli appunti presi a lezione trovo scritto (e questo ovunque, quindi: manco a dire che si tratti di un errore di distrazione nel copiare dalla lavagna)

se ho due basi
B appartenente a V
B' appartenente a V'
ed ho le coordinate di un vettore v rispetto a B per trovare le coordinate di questo vettore rispetto a B' sfrutto la matrice A del cambio di base da B a B'
Quindi, le coordinate di v rispetto B' sono uguali al prodotto della matrice A per le coordinate del vettore v rispetto a B
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Ho fatto delle prove usando tutte e due le definizioni ma vengono dei risultati diversi e non ci sto più capendo niente....
Forse è per il fatto che nel primo caso "avviene" tutto all'interno dello stesso spazio vettoriale V, mentre nel secondo si va da V a V' ?
Poi ho trovato delle dispense che riassumono le lezioni dello scorso anno in cui il prof ha impostato gli esercizi con un procedimento uguale alla teoria del libro e a questo punto la confusione è totale...o sono io che mi sto facendo sfuggire qualcosa. Potete aiutarmi?
Grazie e auguri di buon anno nuovo

[VINX89]

Date due basi B e B' di uno spazio V e un vettore v di V, se [v]B è il vettore delle coordinate rispetto a B e [v]B' è il vettore delle coordinate rispetto a B', allora si ha:
[v]B= M*[v]B' dove M è la matrice dei vettori della base B' espressi rispetto alla base B. Questa proprietà si può dimostrare molto facilmente.
Sia V uno spazio n-dimensionale e siano B=(v1...vn) e B'=(w1...wn); il vettore v si può scrivere indifferentemente come combinazione lineare dei vettori di B o di B':
a1v1+...+anvn=b1w1+...+bnwn dove gli a e i b sono coefficienti reali. Esprimendo entrambi i membri rispetto a B si ha:
(a1...an)=[b1w1+...+bnwn]B. Il primo membro è proprio il vettore v rispetto a B.
Il secondo membro si può scrivere
b1[w1]B+...+bn[wn]B. Questa si può interpretare come la combinazione lineare delle n colonne della matrice avente appunto per colonne le coordinate dei vettori della base B' rispetto alla base B (la matrice M). In definitiva si può scrivere:
(a1...an)=([w1]B...[wn]B)*(b1...bn) che è proprio la relazione cercata.
La matrice A di cui parla il tuo libro dovrebbe essere, quindi, quella che cambia da B' a B. Per quanto riguarda i tuoi appunti, invece, non saprei: in effetti si tratta di due spazi diversi, quindi anche il procedimento dovrebbe essere diverso.

[korat1]

grazie per la tua risposta,VINX89!
Mi sono resa conto di una cosa...quella descritta sui miei appunti è la matrice associata a un'applicazione lineare. Su altre dispense ho trovato questa definizione:

In generale la matrice A=(f) da B a B' associata ad un'applicazione lineare f: V -----> W rispetto ad un'assegnata base B dello spazio vettoriale V di "partenza" ed ad un'assegnata base B' dello spazio d'"arrivo" è la matrice che ha come colonne le coordinate delle immagini dei vettori della base di partenza rispetto alla base di arrivo.

ora che mi sono accorta di questa svista mi sento un sacco stupida