Matrici di cambiamento di base
ciao a tutti.
stavo faccendo alcuni esercizi di algebra quando mi sono imbattuto in un esercizio che nn comprendo a fondo.
ecco l'immagine:
Domande:
cosa si intende per: Determinare la matrice associata ad f rispetto alle basi B e C. ??
vuoldire che la matrice associata ad f che devo trovare deve essere associata sia alla base B che alla base C?
perchè ha scelto l'inversa della base C ?
perchè è la matrice piu' piccola e quindi la sua inversa è facile da trovare ?
i cambiamenti di base si trovano sempre feccendo: MATRICE ASSOCIATA ALLA BASE DI PARTENZA * MATRICE ASSOCIATA ALLA/ALLE BASI DI DESTINAZIONE (con una matrice associata alla base di destinazione invertita?)
grazie
stavo faccendo alcuni esercizi di algebra quando mi sono imbattuto in un esercizio che nn comprendo a fondo.
ecco l'immagine:
Domande:
cosa si intende per: Determinare la matrice associata ad f rispetto alle basi B e C. ??
vuoldire che la matrice associata ad f che devo trovare deve essere associata sia alla base B che alla base C?
perchè ha scelto l'inversa della base C ?
perchè è la matrice piu' piccola e quindi la sua inversa è facile da trovare ?
i cambiamenti di base si trovano sempre feccendo: MATRICE ASSOCIATA ALLA BASE DI PARTENZA * MATRICE ASSOCIATA ALLA/ALLE BASI DI DESTINAZIONE (con una matrice associata alla base di destinazione invertita?)
grazie
Risposte
http://dm.ing.unibs.it/benini/Didattica ... i_base.pdf
penso che qua trovi una risposta a tutto...
o anche qua http://progettomatematica.dm.unibo.it/a ... bcoord.htm
ciao
penso che qua trovi una risposta a tutto...
o anche qua http://progettomatematica.dm.unibo.it/a ... bcoord.htm
ciao
grazie ma avevo gia' letto e riletto quelle pagine e le mie domande rimangono sempre li (apparte la prima che credo d avere un po' piu' chiara in tensta)
"Sergio":
Bell'argomento
[quote="BoG"]cosa si intende per: Determinare la matrice associata ad f rispetto alle basi B e C. ??
vuoldire che la matrice associata ad f che devo trovare deve essere associata sia alla base B che alla base C?
Ovviamente sì. Provo a spiegare l'"ovviamente".
I vettori di spazi vettoriali come $RR^2$ o $RR^3$ sono $n$-uple di componenti. Ad esempio, un vettore di $RR^3$ può essere $(1,1,1$).
Ma le basi di un qualsiasi spazio vettoriale sono infinite. Basta qualsiasi insieme costituito di tanti vettori linearmente indipendenti quanta è la dimensione dello spazio. La "descrizione" di un vettore avviene mediante le sue coordinate.
Tra le infinite basi possibili, le basi canoniche hanno una particolarità: le coordinate di un vettore sono uguali alle sue componenti. Se però cambi base, le coordinate cambiano.
Esempio banale: immagina di avere a che fare con un normale spazio tridimensionale. Il punto $(1,1,1)$ rispetto ai normali assi $x,y,z$ ha coordinate $(1,1,1)$; tuttavia, se inverti la direzione dell'asse $z$ in modo da misurare le quote al contrario (diciamo come "profondità" invece che come "altezze"), le coordinate del punto $(1,1,1)$ diventano $(1,1,-1)$. Hai semplicemente sostituito la base canonica ${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ con un'altra base: ${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1)}$.
Quando definisci un'applicazione tra spazi vettoriali, diciamo $L:V to W$, hai bisogno delle coordinate dei vettori di $V$ che poi vengono trasformate in coordinate dei vettori di $W$. Non lavori mai sulle componenti dei vettori: quando pensi di farlo, in realtà non fai altro che usare le basi canoniche.
Veniamo alla tua applicazione:
$f:RR^3 to RR^2, f(((x_1),(x_2),(x_3)))=((x_1+x_2+x_3),(2x_2+x_3))$
Hai le seguenti basi:
a) per $RR^3$, $ccB=(((1),(1),(0));((0),(2),(1));((1),(0),(1)))$
b) per $RR^2$, $ccC=(((1),(1));((2),(1)))$
Questo vuol dire che l'applicazione cambia le coordinate rispetto a $ccB$ di un vettore $v$ di $RR^3$ nelle coordinate rispetto a $ccC$ del vettore $f(v)$ che è immagine di $v$.
Come si trova la matrice associata ad un'applicazione così definita?
Si può procedere direttamente: è una matrice le cui colonne sono costituite dalle coordinate, rispetto a $ccC$, delle immagini dei vettori di $ccB$.
Indichiamo con $b_i$ i vettori di $ccB$ e con $c_i$ i vettori di $ccC$. Hai:
$f(b_1)=((2),(2))=2c_1+0c_2$
$f(b_2)=((3),(5))=7c_1-2c_2$
$f(b_3)=((2),(1))=0c_1+1c_2$
da cui: $barA=((2,7,0),(0,-2,1))$. E così l'esercizio sarebbe finito.... Ma vediamo meglio.
fino a qua sopra tutto ok !!
il sotto mi rende veramente assai confuso.
Per vedere se è vero, proviamo a moltiplicare per questa matrice le coordinate di un vettore di $RR^3$ rispetto a $ccB$. Dobbiamo ovviamente prima trovare queste coordinate. Come si fa?
Semplice: dato che le coordinate rispetto ad una base canonica coincidono con le componenti, la matrice $B=((1,0,1),(1,2,0),(0,1,1))$, le cui colonne non sono altro che le coordinate rispetto alla base canonica (quindi anche le componenti) dei vettori di $ccB$, è la matrice che cambia le coordinate rispetto a $ccB$ di un vettore $v in RR^3$ in coordinate rispetto alla base canonica. La matrice che fa... l'inverso, che cioè converte le componenti di $v$ in coordinate rispetto a $ccB$, non è altro che $B^(-1)=((2/3,1/3,-2/3),(-1/3,1/3,1/3),(1/3,-1/3,2/3))$.
in prativca dici che se volgio passare da una base B ad una base C la matrice che mi cambia le coordinate da B a C sara' C^-1 e se invece voglio tornare da C a B devo usare B^-1?
Se quindi $v=(1,1,1)$, le sue coordinate rispetto a $ccB$ sono $B^(-1)v=(1/3,1/3,2/3)$ (controprova: se moltiplichi $B$ per questa roba, riottieni $(1,1,1)$; infatti: $B*B^(-1)v=Iv=v$).
ma il vettore v te lo sei inventato a caso, puchè sia in R3?
L'immagine di $v$ tramite $f$, $f(v)$, è $barA(1/3,1/3,2/3)=(3,0)$.
da dove spunta in (3,0)? sono le coordinate dell'immagine del vettore v tramite l'applicazione lineare?
Ma queste sono le coordinate di $f(v)$ rispetto a $ccC$. Per ottenere le sue componenti (le coordinate rispetto alla base canonica), hai bisogno di una matrice $C$ analoga a $B$, le cui colonne non sono altro che le componenti dei vettori di $ccC$: $C=((1,2),(1,1))$.
ma le basi B e C possono essere viste come domino e codominio ?
il cambiamento di base di matrici non è un po' come quando ad analisi matematica ti fanno fare le inverse delle funzioni per trovare il punto del dominio che genera un punto nel codominio?
E hai: $C(3,0)=(3,3)$.
come fai a farti venire (3, 3) ?
Ovviamente (questa volta spero che mi passi la mancanza di virgolette), $C^(-1)=((-1,2),(1,-1))$ è la matrice che cambia le componenti di un vettore di $RR^2$ nelle sue coordinate rispetto a $ccC$.
vuoldore che io prendendo un vettore di R2 qualunque e moltiplicandol oper C^-1 ottengo sempre un vettore con coordinate in C ? ma se c è un R2 ... allroa C^-1 non è un isomorfismo? o un qualcosa di simile?
In sostanza, se hai $v=(1,1,1)$, per trovare $f(v)$:
a) converti $v$ nella tripla delle sue coordinate rispetto a $ccB$ con $B^(-1)$: $B^(-1)v=(1/3,1/3,2/3)$;
c'è qualche tipo di "compattibilita'" tra B^-1 e C^-1?
b) moltiplichi questa tripla per la matrice $barA$: $barA(1/3,1/3,2/3)=(3,0)$;
c) converti quello che ottieni (coordinate rispetto a $ccC$) nelle componenti (coord. risp. b.can.): $C(3,0)=(3,3)$.
Come sintetizzare il tutto? Semplice: $C*barA*B^(-1)*v$.
... A segnato non è l'immagine di v tramite f ?
no guarda lasciamo perdere, dopo 2 h che leggo, rileggo eprovo a cpire ... non ho capito quasi nulla.
forse è troppo astratto ... provo a vedere il post sotto che fai fatto.
Ma c'è un altro aspetto della faccenda. Come dicevo sopra, un'applicazione converte coordinate in coordinate. Nel nostro caso, $f$ converte coordinate rispetto a $ccB$ in coordinate rispetto a $ccC$. Hai quindi bisogno di qualcosa per cui moltiplicare le coordinate di $v in RR^3$ rispetto a $ccB$.
Hai bisogno, cioè, di qualcosa per cui moltiplicare non $v$, ma $B^(-1)v$, ottenendo coordinate rispetto a $ccC$. Come fare?
La soluzione dell'esercizio propone un altro approccio (ricorda che $barA$ l'avevamo trovata subito): quando hai un'applicazione definita come è stata definita $f$ (un'applicazione può essere definita anche in altri modi), risulta facile trovare l'applicazione associata a $f$ rispetto alle basi canoniche: basta che metti in colonna i coefficienti delle combinazioni lineari delle componenti di $v$:
da $f:RR^3 to RR^2, f(((x_1),(x_2),(x_3)))=((x_1+x_2+x_3),(2x_2+x_3))$ ricavi subito $A=((1,1,1),(0,2,1))$.
$A$ converte coordinate rispetto alla base canonica di $RR^3$ in coordinate rispetto alla base canonica di $RR^2$.
Indichiamo con $K(v)$ le coordinate di un vettore $v$ di $RR^3$ rispetto a $ccB$.
Per ottenere la matrice che opera sulle coordinate rispetto alle basi date devi:
a) convertire le coordinate rispetto a $ccB$ di $v$ in coordinate rispetto alla base canonica, lo fai con la matrice $B$, quindi: $B*K(v)$, ad esempio, $B*(1/3,1/3,2/3)=(1,1,1)$;
b) trovare l'immagine $f(v)$ rispetto alla base canonica con la matrice $A$: $A(1,1,1)=(3,3)$;
c) convertire queste coordinate in coordinate rispetto a $ccC$: $C^(-1)(3,3)=(3,0)$.
In sintesi: $C^(-1)*A*B*K(v)$
E si ha $C^(-1)*A*B=barA$, $A=C*barA*B^(-1)$.
Infatti:
a) $C^(-1)*A*B=barA to C*C^(-1)*A*B*B^(-1)=C*barA*B^(-1) to A=C*barA*B^(-1)$;
b) $A=C*barA*B^(-1) to C^(-1)*A*B=C^(-1)*C*barA*B^(-1)*B to C^(-1)*A*B=barA$.
"BoG":
perchè ha scelto l'inversa della base C ?
Spero che ora ti sia un po' più chiaro.
"BoG":
i cambiamenti di base si trovano sempre feccendo: MATRICE ASSOCIATA ALLA BASE DI PARTENZA * MATRICE ASSOCIATA ALLA/ALLE BASI DI DESTINAZIONE (con una matrice associata alla base di destinazione invertita?)
No. Considera le matrici $A$ e $barA$. Sono entrambe associate alla stessa applicazione, ma rispetto a basi diverse per il dominio ed il codominio.
Se parti dalla matrice rispetto alle basi canoniche, $A$, puoi cominciare dalle componenti dei vettori del dominio, ma se di questi hai (come normalmente hai) le coordinate rispetto ad una base $ccB$, non puoi moltiplicare $A$ per le coordinate, devi prima convertire queste in componenti (coord. risp. b. can.); quindi cominci con $A*B*v$; ottieni così componenti che devi convertire in coordinare rispetto a $ccC$, quindi moltiplichi quello che hai ottenuto per $C^(-1)$. E' così che viene fuori la matrice associata a $f$ rispetto a $B$ e $C$: $barA=C^(-1)*A*B$.
$A$ e $barA$ sono matrici associate all'applicazione $f$ (rispetto a basi diverse); $B$, $B^(-1)$, $C$ e $C^(-1)$ sono matrici di cambiamento di base (se vuoi, matrici associate all'applicazione identica).
Se non ti è ancora chiaro.... fai un fischio
[/quote]
"Sergio":
Ho detto che quando definisci un'applicazione tra spazi vettoriali lavori sempre sulle coordinate, mai sulle componenti.
La cosa forse non risulta chiara se ci si limita a spazi del tipo $RR^n$.
Proviamo con i polinomi troncati di grado minore o uguale a 3, che costituiscono lo spazio vettoriale $RR_3[x]$.
Hai l'applicazione: $f:RR_3[x] to RR_3[x]$, $f(a+bx+cx^2+dx^3)=(a-c)x+(b+d)x^3$.
Per dare un'idea di come funziona, diciamo che trasforma un polinomio come $p=x^2-4$ nel polinomio $f(p)=-5x$. Hai infatti $a=-4,b=0,c=1,d=0$, da cui $f(p)=(-4-1)x+(0+0)x^3=-5x$.
Problema: come "immaginare" una matrice $A$ tale che (per così dire...) $Ap=-5x$? Come si può moltiplicare una matrice per un polinomio???
Soluzione: prendi le coordinate del polinomio rispetto ad una base.
Immaginiamo che il dominio ed il codominio abbiano entrambi la base canonica $ccE={1,x,x^2,x^3}$.
La matrice associata all'applicazione è: $A=((0,0,0,0),(1,0,-1,0),(0,0,0,0),(0,1,0,1))$. [1]
Come procedi? Moltiplichi per $A$ le coordinate di $x^2-4$ rispetto a $ccE$, che sono $(-4,0,1,0)$, e ottieni:
$((0,0,0,0),(1,0,-1,0),(0,0,0,0),(0,1,0,1))((-4),(0),(1),(0))=((0),(-5),(0),(0))$
Queste sono le coordinate di $f(p)$ rispetto a $ccE$, e si vede subito che $f(p)=-5x$ (il polinomio si ottiene moltiplcando per $-5$ il secondo polinomio di $ccE$, che è $x$, e per $0$ gli altri).
Se invece la base di dominio e codominio fosse: $ccB={x,1-x,x+x^2,1+x+x^3}$, la matrice associata alla trasformazione sarebbe: $M=((-2,3,-3,-3),(-1,1,-1,-2),(0,0,0,0),(1,-1,1,2))$ [1], le coordinate di $p$ rispetto a $ccB$ sarebbero $(-5,-4,1,0)$ e avresti:
$((-2,3,-3,-3),(-1,1,-1,-2),(0,0,0,0),(1,-1,1,2))((-5),(-4),(1),(0))=((-5),(0),(0),(0))$
Anche in questo caso ottieni coordinate rispetto a $ccB$, e vedi che ancora $f(p)=-5x$ (moltiplichi per $-5$ il primo polinomio di $ccB$, che è $x$, e per $0$ gli altri).
In sostanza, hai ora basi costituite da polinomi e vedi forse meglio che puoi ottenere l'immagine di un polinomio $p$ moltiplicando per una matrice associata a $f$, rispetto a date basi del dominio e del codominio, le coordinate di quel polinomio rispetto alla base del dominio. Ottieni così le coordinate dell'immagine, da cui puoi facilmente risalire al polinomio $f(p)$.
_______________________
[1] Trovare queste matrici, ed anche le matrici di cambiamento di base, potrebbe essere un buon esercizio. Se hai difficoltà, basta dirlo
okka è la prima vlt k vedo un ese del genere ma credo d averlo afferato .. il problema rimane quel testo lungo nel post di sopra ... la spiegazione generosa che chi scritto mi ha confuso.
PS: non h ocapito cm hai fatto ad ottenere le matrici associate alle applicazioni ... ?
PS2: ah lol ... me lo hai dato come esercizio ... mo vedo ...
PS3: dirrei k nn c'arrivo ... sono un tantinello nervoso dopo le ore passate a nn capire
Ok, dirrei k questo è stato molto piu' chiaro. Ho capito una buona parte ... permetti altre domandine please :
Non proprio
Diciamo che spesso un'applicazione lineare del tipo $RR^n to RR^m$ viene presentata, come nel tuo esercizio, in una forma del tipo: $f(x_1,x_2,x_3)=((x_1+x_2+x_3),(2x_2+x_3))$
Però poi si danno basi non canoniche....
Quella formuletta ragiona in termini di componenti (coord. risp. base canonica), ed è facile trovare la matrice associata ($A$ nel tuo caso), ma la matrice associata a $f$ rispetto a basi non canoniche è diversa.
Per vedere in toto quello che succede, ti servono matrici di cambiamento di base.
Una matrice di cambiamento di base è una matrice associata all'applicazione identica, e però, convertendo da una base in un'altra, non è la matrice identità.
Proviamo a chiamare $ccE$ una qualsiasi base canonica (cioè di qualsiasi dimensione). Potremmo indicare matrice $B$ con $M_(ccB,ccE)$: converte le coordinate dei vettori di $RR^3$ dalla base $ccB$ nella base canonica.
Quanto a $C$, potremmo indicarla con $M_(ccC,ccE)$: converte le coordinate dei vettori di $RR^2$ dalla base $ccC$ nella base canonica.
$B^(-1)$ non è altro che $M_(ccE,ccB)$: converte le coordinate dei vettori di $RR^3$ dalla base canonica a $ccB$.
$C^(-1)$ non è altro che $M_(ccE,ccC)$: converte le coordinate dei vettori di $RR^2$ dalla base canonica a $ccC$.
In entrambi i casi, si pesta sempre la stessa mattonella! Si rimane, cioè, sempre sullo stesso spazio vettoriale: su $RR^3$ con $B$ e $B^(-1)$, su $RR^2$ con $C$ e $C^(-1)$.
Voglio dire che non siamo ancora alla matrice associata a $f$, ma solo ai "mattoni" che permettono di costruirla.
Sì.
$barA$ è la matrice che trasforma coordinate rispetto a $ccB$ in coordinate rispetto a $ccC$.
Se $v=(1,1,1)$, le sue coordinate rispetto a $ccB$ sono $B^(-1)v=(1/3,1/3,2/3)$.
$barA$ trasforma queste coordinate in coordinate rispetto a $ccC$. Quindi: "sono le coordinate rispetto a $ccC$ dell'immagine del vettore $v$ tramite l'applicazione lineare".
No: sono le basi fissate del dominio e del codominio.
Sì, solo che in questo caso la funzione invertibile è un'applicazione identica che cambia coordinate di un vettore rispetto ad una base in coordinate dello stesso vettore rispetto ad un'altra base.
$(3,0)$ sono le coordinate di $f(v)$ rispetto a $ccC$. Per ottenere le coordinate rispetto alla base canonica, moltiplico $C=M_(ccC,ccE)$ per $(3,0)$: $((1,2),(1,1))((3),(0))=((3),(3))$.
$C^(-1)$ converte le coordinate rispetto alla base canonica (le componenti) di un vettore di $RR^2$ in coordinate rispetto a $ccC$. C'è sì un isomorfismo (un automorfismo), ma non mi preoccuperei di questo
Provo con un esempio semplice (spero): sia $w=(1,2)$ un vettore di $RR^2$. Dire che $w=(1,2)$ vuol dire che $w=1e_1+2e_2$, dove $e_1=(1,0)$ e $e_2=(0,1)$ sono i vettori della base canonica di $RR^2$.
Se moltiplico $w$ per $C^(-1)$ ottengo: $((-1,2),(1,-1))((1),(2))=((3),(-1))$.
Queste sono le coordinate di $w$ rispetto alla base $ccC$. Infatti: $3(1,1)-1(2,1)=(3-2,3-1)=(1,2)$.
Il vettore è sempre lo stesso: cambia la sua rappresentazione in coordinate (perché cambia la base).
$B$ e $B^(-1)$ sono entrambe matrici quadrate di ordine $3$.
$C$ e $C^(-1)$ sono entrambe matrici quadrate di ordine $2$.
La "compatibilità" risiede altrove: la matrice associata a $f$ è $3 times 2$.
intendevo dire tra C^-1 e B^-1 !! c'è un legame di qualche tipo tra queste matrici?
$barA$ è la matrice associata a $f$ rispetto alle basi $ccB$ e $ccC$.
e se dicessi che è "anello mancante" per passare da una base all'altra?
Ci vuole un po' di tempo per afferrare bene queste cose. È normale
Ci sono alcune cose che bisogna mettersi bene in testa: uno spazio vettoriale può avere infinite basi, un'applicazione lineare trasforma coordinate di vettori del dominio in coordinate di vettori del codominio, una matrice associata ad un'applicazione lineare dipende sempre dalle basi fissate.
Restiamo alla nostra applicazione $f(x_1,x_2,x_3)=((x_1+x_2+x_3),(2x_2+x_3))$
Se $v=(1,2,3)$ la sua immagine è $(1+2+3,2*2+3)=(6,7)$.
Ottieni lo stesso risultato moltiplicando $v$ per la matrice $A$ (quella associata a $f$ rispetto alle basi canoniche):
$((1,1,1),(0,2,1))((1),(2),(3))=((6),(7))$
Se usi le basi $ccB$ e $ccC$, la matrice diventa $barA$. Questa cambia le coordinate di $v$ rispetto a $ccB$ in coordinate rispetto a $ccC$.
Le coordinate di $v$ rispetto a $ccB$ sono $(-2/3,4/3,5/3)$. Infatti:
$-2/3((1),(1),(0))+4/3((0),(2),(1))+5/3((1),(0),(1))=((-2/3+5/3),(-2/3+8/3),(4/3+5/3))=((1),(2),(3))$.
Puoi ottenere queste coordinate con: $B^(-1)v$, oppure risolvendo il sistema:
$x_1((1),(1),(0))+x_2((0),(2),(1))+x_3((1),(0),(1))=((1),(2),(3))$.
Moltiplicando per $barA$ queste coordinate ottieni (le coordinate rispetto a $ccC$ de) l'immagine (delle coordinate rispetto a $ccB$) di $v$: $((2,7,0),(0,-2,1))((-2/3),(4/3),(5/3))=((8),(-1))$.
Per trovare le componenti dell'immagine, moltiplichi il risultato per $C$: $((1,2),(1,1))((8),(-1))=((6),(7))$.
Quello che non sempre risulta chiaro, quando si inizia a studiare queste cose, è che una matrice come $barA$ non converte le componenti dei vettori del dominio, ma le loro coordinate rispetto ad una base data (in questo caso $ccB$); e non le converte in componenti delle immagini, ma nelle coordinate di queste rispetto ad una base data (in questo caso $ccC$).
In altri termini, se $v=(1,2,3)$, non ne ottieni l'immagine tramite $f$ con $barAv$, perché $barA$ si aspetta "in input" coordinate rispetto a $ccB$.
È questo il motivo per cui, nella soluzione dell'esercizio, ti trovi $barA=C^(-1)*A*B$, che vuol dire:
a) uso $B$ per convertire l'input (una terna di coordinate rispetto a $ccB$) in componenti (coordinate rispetto alla base canonica);
b) uso $A$ per effettuare la trasformazione da componenti in componenti;
c) moltiplico per $C^(-1)$ il tutto per ottenere coordinate rispetto a $ccC$.
"Dentro" $barA$ c'è tutto questo.
Per $A$ hai: componenti $to A to$ componenti.
Per $barA$ hai: coordinate rispetto a $ccB$ $to barA to$ coordinate rispetto a $ccC$.[/quote]
beh per il resto dirrei k ci sono ... mi sfugge solo il come hai fatto ad ottenere (nel post precedente, quello con gli esercizi sui polinomi) le matrici associate alle applicazioni... oh ... 5.30 h che studio matematica ... dirrei k no nè mai successo ... lol.
:"Sergio":
[quote="BoG"]in prativca dici che se volgio passare da una base B ad una base C la matrice che mi cambia le coordinate da B a C sara' C^-1 e se invece voglio tornare da C a B devo usare B^-1?
Non proprio
Diciamo che spesso un'applicazione lineare del tipo $RR^n to RR^m$ viene presentata, come nel tuo esercizio, in una forma del tipo: $f(x_1,x_2,x_3)=((x_1+x_2+x_3),(2x_2+x_3))$
Però poi si danno basi non canoniche....
Quella formuletta ragiona in termini di componenti (coord. risp. base canonica), ed è facile trovare la matrice associata ($A$ nel tuo caso), ma la matrice associata a $f$ rispetto a basi non canoniche è diversa.
Per vedere in toto quello che succede, ti servono matrici di cambiamento di base.
Una matrice di cambiamento di base è una matrice associata all'applicazione identica, e però, convertendo da una base in un'altra, non è la matrice identità.
Proviamo a chiamare $ccE$ una qualsiasi base canonica (cioè di qualsiasi dimensione). Potremmo indicare matrice $B$ con $M_(ccB,ccE)$: converte le coordinate dei vettori di $RR^3$ dalla base $ccB$ nella base canonica.
Quanto a $C$, potremmo indicarla con $M_(ccC,ccE)$: converte le coordinate dei vettori di $RR^2$ dalla base $ccC$ nella base canonica.
$B^(-1)$ non è altro che $M_(ccE,ccB)$: converte le coordinate dei vettori di $RR^3$ dalla base canonica a $ccB$.
$C^(-1)$ non è altro che $M_(ccE,ccC)$: converte le coordinate dei vettori di $RR^2$ dalla base canonica a $ccC$.
In entrambi i casi, si pesta sempre la stessa mattonella! Si rimane, cioè, sempre sullo stesso spazio vettoriale: su $RR^3$ con $B$ e $B^(-1)$, su $RR^2$ con $C$ e $C^(-1)$.
Voglio dire che non siamo ancora alla matrice associata a $f$, ma solo ai "mattoni" che permettono di costruirla.
"BoG":
ma il vettore v te lo sei inventato a caso, puchè sia in R3?
Sì.
"BoG":L'immagine di $v$ tramite $f$, $f(v)$, è $barA(1/3,1/3,2/3)=(3,0)$.
da dove spunta in (3,0)? sono le coordinate dell'immagine del vettore v tramite l'applicazione lineare?
$barA$ è la matrice che trasforma coordinate rispetto a $ccB$ in coordinate rispetto a $ccC$.
Se $v=(1,1,1)$, le sue coordinate rispetto a $ccB$ sono $B^(-1)v=(1/3,1/3,2/3)$.
$barA$ trasforma queste coordinate in coordinate rispetto a $ccC$. Quindi: "sono le coordinate rispetto a $ccC$ dell'immagine del vettore $v$ tramite l'applicazione lineare".
"BoG":
ma le basi B e C possono essere viste come domino e codominio ?
No: sono le basi fissate del dominio e del codominio.
"BoG":
il cambiamento di base di matrici non è un po' come quando ad analisi matematica ti fanno fare le inverse delle funzioni per trovare il punto del dominio che genera un punto nel codominio?
Sì, solo che in questo caso la funzione invertibile è un'applicazione identica che cambia coordinate di un vettore rispetto ad una base in coordinate dello stesso vettore rispetto ad un'altra base.
"BoG":
come fai a farti venire (3, 3) ?
$(3,0)$ sono le coordinate di $f(v)$ rispetto a $ccC$. Per ottenere le coordinate rispetto alla base canonica, moltiplico $C=M_(ccC,ccE)$ per $(3,0)$: $((1,2),(1,1))((3),(0))=((3),(3))$.
"BoG":
vuol dire che io prendendo un vettore di R2 qualunque e moltiplicandol oper C^-1 ottengo sempre un vettore con coordinate in C ? ma se c è un R2 ... allroa C^-1 non è un isomorfismo? o un qualcosa di simile?
$C^(-1)$ converte le coordinate rispetto alla base canonica (le componenti) di un vettore di $RR^2$ in coordinate rispetto a $ccC$. C'è sì un isomorfismo (un automorfismo), ma non mi preoccuperei di questo
Provo con un esempio semplice (spero): sia $w=(1,2)$ un vettore di $RR^2$. Dire che $w=(1,2)$ vuol dire che $w=1e_1+2e_2$, dove $e_1=(1,0)$ e $e_2=(0,1)$ sono i vettori della base canonica di $RR^2$.
Se moltiplico $w$ per $C^(-1)$ ottengo: $((-1,2),(1,-1))((1),(2))=((3),(-1))$.
Queste sono le coordinate di $w$ rispetto alla base $ccC$. Infatti: $3(1,1)-1(2,1)=(3-2,3-1)=(1,2)$.
Il vettore è sempre lo stesso: cambia la sua rappresentazione in coordinate (perché cambia la base).
"BoG":
c'è qualche tipo di "compattibilita'" tra B^-1 e C^-1?
$B$ e $B^(-1)$ sono entrambe matrici quadrate di ordine $3$.
$C$ e $C^(-1)$ sono entrambe matrici quadrate di ordine $2$.
La "compatibilità" risiede altrove: la matrice associata a $f$ è $3 times 2$.
intendevo dire tra C^-1 e B^-1 !! c'è un legame di qualche tipo tra queste matrici?
"BoG":
... A segnato non è l'immagine di v tramite f ?
$barA$ è la matrice associata a $f$ rispetto alle basi $ccB$ e $ccC$.
e se dicessi che è "anello mancante" per passare da una base all'altra?
"BoG":
no guarda lasciamo perdere, dopo 2 h che leggo, rileggo eprovo a cpire ... non ho capito quasi nulla.
Ci vuole un po' di tempo per afferrare bene queste cose. È normale
Ci sono alcune cose che bisogna mettersi bene in testa: uno spazio vettoriale può avere infinite basi, un'applicazione lineare trasforma coordinate di vettori del dominio in coordinate di vettori del codominio, una matrice associata ad un'applicazione lineare dipende sempre dalle basi fissate.
Restiamo alla nostra applicazione $f(x_1,x_2,x_3)=((x_1+x_2+x_3),(2x_2+x_3))$
Se $v=(1,2,3)$ la sua immagine è $(1+2+3,2*2+3)=(6,7)$.
Ottieni lo stesso risultato moltiplicando $v$ per la matrice $A$ (quella associata a $f$ rispetto alle basi canoniche):
$((1,1,1),(0,2,1))((1),(2),(3))=((6),(7))$
Se usi le basi $ccB$ e $ccC$, la matrice diventa $barA$. Questa cambia le coordinate di $v$ rispetto a $ccB$ in coordinate rispetto a $ccC$.
Le coordinate di $v$ rispetto a $ccB$ sono $(-2/3,4/3,5/3)$. Infatti:
$-2/3((1),(1),(0))+4/3((0),(2),(1))+5/3((1),(0),(1))=((-2/3+5/3),(-2/3+8/3),(4/3+5/3))=((1),(2),(3))$.
Puoi ottenere queste coordinate con: $B^(-1)v$, oppure risolvendo il sistema:
$x_1((1),(1),(0))+x_2((0),(2),(1))+x_3((1),(0),(1))=((1),(2),(3))$.
Moltiplicando per $barA$ queste coordinate ottieni (le coordinate rispetto a $ccC$ de) l'immagine (delle coordinate rispetto a $ccB$) di $v$: $((2,7,0),(0,-2,1))((-2/3),(4/3),(5/3))=((8),(-1))$.
Per trovare le componenti dell'immagine, moltiplichi il risultato per $C$: $((1,2),(1,1))((8),(-1))=((6),(7))$.
Quello che non sempre risulta chiaro, quando si inizia a studiare queste cose, è che una matrice come $barA$ non converte le componenti dei vettori del dominio, ma le loro coordinate rispetto ad una base data (in questo caso $ccB$); e non le converte in componenti delle immagini, ma nelle coordinate di queste rispetto ad una base data (in questo caso $ccC$).
In altri termini, se $v=(1,2,3)$, non ne ottieni l'immagine tramite $f$ con $barAv$, perché $barA$ si aspetta "in input" coordinate rispetto a $ccB$.
È questo il motivo per cui, nella soluzione dell'esercizio, ti trovi $barA=C^(-1)*A*B$, che vuol dire:
a) uso $B$ per convertire l'input (una terna di coordinate rispetto a $ccB$) in componenti (coordinate rispetto alla base canonica);
b) uso $A$ per effettuare la trasformazione da componenti in componenti;
c) moltiplico per $C^(-1)$ il tutto per ottenere coordinate rispetto a $ccC$.
"Dentro" $barA$ c'è tutto questo.
Per $A$ hai: componenti $to A to$ componenti.
Per $barA$ hai: coordinate rispetto a $ccB$ $to barA to$ coordinate rispetto a $ccC$.[/quote]
beh per il resto dirrei k ci sono ... mi sfugge solo il come hai fatto ad ottenere (nel post precedente, quello con gli esercizi sui polinomi) le matrici associate alle applicazioni... oh ... 5.30 h che studio matematica ... dirrei k no nè mai successo ... lol.
"Sergio":
[quote="BoG"]PS3: dirrei k nn c'arrivo ... sono un tantinello nervoso dopo le ore passate a nn capire
Ore??? Io ci ho messo settimane!
Hai $f:RR_3[x] to RR_3[x]$, $f(a+bx+cx^2+dx^3)=(a-c)x+(b+d)x^3$, e la base canonica $ccE={1,x,x^2,x^3}$ sia per il dominio che per il codominio.
Come trovi la matrice $A$? Semplice
Cominci "applicando" $f$ ai vettori di $ccE$.NB: provo a usare una notazione forse un po' strana, nel senso che metto tra barre verticali i valori dei coefficienti $a,b,c,d$.
$f(1)=|(a=1),(b=0),(c=0),(d=0)|=x, " "f(x)=|(a=0),(b=1),(c=0),(d=0)|=x^3, " "f(x^2)=|(a=0),(b=0),(c=1),(d=0)|=-x, " "f(x^3)=|(a=0),(b=0),(c=0),(d=1)|=x^3$
Poi trovi le coordinate di queste immagini rispetto alla base canonica:
$K(f(1))=(0,1,0,0)$
$K(f(x))=(0,0,0,1)$
$K(f(x^2))=(0,-1,0,0)$
$K(f(x^3))=(0,0,0,1)$
Le sistemi in colonne e ottieni $A$. Perché? Perché una matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a date basi è una matrice le cui colonne sono le coordinate, rispetto alla base del codominio, delle immagini degli elementi della base del dominio.
Come trovare la matrice $M$ associata a $f$ rispetto alla base $ccB={x,1-x,x+x^2,1+x+x^3}$?
Trovi le immagini dei vettori di $ccB$:
$f(x)=|(a=0),(b=1),(c=0),(d=0)|=x^3," "f(1-x)=|(a=1),(b=-1),(c=0),(d=0)|=x-x^3," "f(x+x^2)=|(a=0),(b=1),(c=1),(d=0)|=-x+x^3, " "f(1+x+x^3)=|(a=1),(b=1),(c=0),(d=1)|=x+2x^3$
Trovi ora le coordinate di queste immagini rispetto a $ccB$:
$K(f(x))=K(x^3)=(-2,-1,0,1)$
$K(f(1-x))=K(x-x^3)=(3,1,0,-1)$
$K(f(x+x^2)=K(-x+x^3)=(-3,-1,0,1)$
$K(f(1+x+x^3))=K(x+2x^3)=(-3,-2,0,2)$
non credo di aver afferato.
non dovresti moltiplicare le immagini dei vettori di B con l'inversa della matrice associata alle immaigni dei vettori di B? ovvero:
(0 1 0 1)
(1 -1 1 1)
(0 0 1 0)
(0 0 0 1)
?
rozzamente ci sono ... ho visto qua sotto da dove derivano e come ricavarle ..
Infatti:
$-2(x)-1(1-x)+0(x+x^2)+1(1+x+x^3)=-2x-1+x+1+x+x^3=x^3$
$3(x)+1(1-x)+0(x+x^2)-1(1+x+x^3)=3x+1-x-1-x-x^3=x-x^3$
ecc.
Sistemi in colonne le coordinate e ottieni $M$.[/quote]
"Sergio":
Per trovare coordinate rispetto a $ccB$ delle immagini tramite $f$ dei suoi elementi fai così (mi limito al primo):
$f(x)=x^3$
$x^3=m(x)+n(1-x)+p(x+x^2)+q(1+x+x^2)=mx+n-nx+px+px^2+q+qx+qx^3=(n+q)+(m-n+p+q)x+px^2+qx^3$
non è che magari volevi mettere un $x^3$ al posto dell' $x^2$ ?? dopo il primo uguale, alla fine : $q(1+x+x^2)$ ?
da cui:
$p=0$
$q=1$
$n+q=0 to n=-1$
$m-n+p+q=m+1+0+1=0 to m=-2$
quindi: $(-2,-1,0,1)$.
io ho provato a fare quello per $f(1-x) = x-x^3$ e viene:
$x-x^3 = m(x) + n(1-x) + p(x+x^2) + q(1+x+x^3) =mx + n - nx +px + px^2 + q + qx + qx^3 = (n+q) + (m-n+p+q)x +px^2 + qx^3$
da cui ottengo:
$p=0$ (visto che $x^2$ non c'è in $(x-x^3)$
$q =-1$ (visto che devo avere un $-x^3$ ed essendo q il suo unico coeficiente deve essere per forza -1)
$n+q=0$ (non c'è nessun coeficiente senza l'X in $x-x^3$ ... lol ... è un po' confusa come spiegazione) ed ottengo: $n=-q=-(-1) = +1$
$m-n+p+q=1$ (essendo queste somme e sottrazioni tra coefficienti della $X$ e visto che la $X$ mi serve ed ha coefficiente =1 allora anche la loro domma deve essere 1) e quindi ottengo: $m=n-p-q+1 = 3$.
e quindi ho: $(m,n,p,q) = (3,1,0,-1)$
fila i lragionamento ?
Come si trova la matrice associata ad un'applicazione così definita?
Si può procedere direttamente: è una matrice le cui colonne sono costituite dalle coordinate, rispetto a $ccC$, delle immagini dei vettori di $ccB$.
Indichiamo con $b_i$ i vettori di $ccB$ e con $c_i$ i vettori di $ccC$. Hai:
$f(b_1)=((2),(2))=2c_1+0c_2$
$f(b_2)=((3),(5))=7c_1-2c_2$
$f(b_3)=((2),(1))=0c_1+1c_2$
da cui: $barA=((2,7,0),(0,-2,1))$. E così l'esercizio sarebbe finito....
ecco quei valori(2,0) (7,-2) (0,1) come si ottengono????potrebbe essere banale ma non capisco..
Si può procedere direttamente: è una matrice le cui colonne sono costituite dalle coordinate, rispetto a $ccC$, delle immagini dei vettori di $ccB$.
Indichiamo con $b_i$ i vettori di $ccB$ e con $c_i$ i vettori di $ccC$. Hai:
$f(b_1)=((2),(2))=2c_1+0c_2$
$f(b_2)=((3),(5))=7c_1-2c_2$
$f(b_3)=((2),(1))=0c_1+1c_2$
da cui: $barA=((2,7,0),(0,-2,1))$. E così l'esercizio sarebbe finito....
ecco quei valori(2,0) (7,-2) (0,1) come si ottengono????potrebbe essere banale ma non capisco..
[mod="Martino"]Marcocortese, sei pregato di aprire un nuovo argomento nella sezione "Geometria e algebra lineare". Grazie. Nel frattempo, sposto.[/mod]
si scusa ma non riuscivo a mettere le matrici per questo l'ho usato...chiedo scusa..
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