Matrici coniugate hanno lo stesso rango
Salve a tutti ragazzi =) la sessione estiva sta "quasi" per terminare 
esattamente tra una settimana ho l'esame di algebra lineare e ho ancora un piccolo dubbio
mi scuso in anticipo se sto per dire una grande stupidaggine =D
Il dubbio è: una domanda che il mio prof chiede frequentemente è "dimostrare che due matrici coniugate hanno lo stesso rango"
io lo dimostro in questo modo, ma non so se sia esatto o meno
Enunciato: Due matrici coniugate hanno lo stesso polinomio caratteristico, la stessa traccia e lo stesso determinante (quindi anche lo stesso rango?)
vado a dimostrare questo teorema qui affermando che:
Per il teorema di Binet, se P $ in $ GL (n,R) è una matrice invertibile allora
$ 1= |In|= |P{::}_(\ \ )^(-1) text()*P|= |P{::}_(\ \ )^(-1) text()|*|P| $
da cui segue che $ |P{::}_(\ \ )^(-1) text()|= |P|{::}_(\ \ )^(-1) text() $
Sempre per Binet, se $ B= P{::}_(\ \ )^(-1) text() AP $ allora:
$ B-lambda In= P{::}_(\ \ )^(-1) text() (A-lambda In)P $
quindi da qui affermo che due matrici coniugate hanno lo stesso rango, scrivendo:
$ rho{::}_(\ \ B)^() text()(lambda)= |B-lambda In|= P{::}_(\ \ )^(-1) text() |A-lambda In|P = |A-lambda In|= rho {::}_(\ \ A)^() text()(lambda ) $
Va bene se lo dimostro in questo modo?
esattamente tra una settimana ho l'esame di algebra lineare e ho ancora un piccolo dubbio
mi scuso in anticipo se sto per dire una grande stupidaggine =DIl dubbio è: una domanda che il mio prof chiede frequentemente è "dimostrare che due matrici coniugate hanno lo stesso rango"
io lo dimostro in questo modo, ma non so se sia esatto o meno
Enunciato: Due matrici coniugate hanno lo stesso polinomio caratteristico, la stessa traccia e lo stesso determinante (quindi anche lo stesso rango?)
vado a dimostrare questo teorema qui affermando che:
Per il teorema di Binet, se P $ in $ GL (n,R) è una matrice invertibile allora
$ 1= |In|= |P{::}_(\ \ )^(-1) text()*P|= |P{::}_(\ \ )^(-1) text()|*|P| $
da cui segue che $ |P{::}_(\ \ )^(-1) text()|= |P|{::}_(\ \ )^(-1) text() $
Sempre per Binet, se $ B= P{::}_(\ \ )^(-1) text() AP $ allora:
$ B-lambda In= P{::}_(\ \ )^(-1) text() (A-lambda In)P $
quindi da qui affermo che due matrici coniugate hanno lo stesso rango, scrivendo:
$ rho{::}_(\ \ B)^() text()(lambda)= |B-lambda In|= P{::}_(\ \ )^(-1) text() |A-lambda In|P = |A-lambda In|= rho {::}_(\ \ A)^() text()(lambda ) $
Va bene se lo dimostro in questo modo?
Risposte
"Nusia":
Per il teorema di Binet, se P $ in $ GL (n,R) è una matrice invertibile allora
$ 1= |In|= |P{::}_(\ \ )^(-1) text()*P|= |P{::}_(\ \ )^(-1) text()|*|P| $
da cui segue che $ |P{::}_(\ \ )^(-1) text()|= |P|{::}_(\ \ )^(-1) text() $
Fin qui, I agree (:
"Nusia":
Sempre per Binet, se $ B= P{::}_(\ \ )^(-1) text() AP $ allora:
$ B-lambda In= P{::}_(\ \ )^(-1) text() (A-lambda In)P $
Qui non sono più d'accordo.
Lo affermi senza usare il Teorema di Binet! Basta notare che
$ B-lambda I_n= P^(-1)AP-lambdaP^(-1)P=P^(-1)AP-P^(-1)lambdaP=P^(-1)(A-lambdaI)P$
"Nusia":
quindi da qui affermo che due matrici coniugate hanno lo stesso rango, scrivendo:
$ rho{::}_(\ \ B)^() text()(lambda)= |B-lambda In|= P{::}_(\ \ )^(-1) text() |A-lambda In|P = |A-lambda In|= rho {::}_(\ \ A)^() text()(lambda ) $
Va bene se lo dimostro in questo modo?
Qui invece proprio non ho capito cosa intendi.. Quello che chiami $ rho{::}_(\ \ B)^() text()(lambda)$ cosa dovrebbe essere, il rango di $B$?? A me sembra che sia il polinomio caratteristico, e te lo chiedo perché usi la lettera $rho$, che da me si usa per il rango.. mentre noi usiamo la $p$ per il polinomio caratteristico..
Quella che scrivi mi sembra la dimostrazione che i polinomi caratteristici di $A$ e $B$ sono uguali.. E comunque "tiri fuori" dal determinante $P^(-1)$ e $P$, che sono dentro..
si scusami, hai ragione tu $ rho $ è per il rango, ho sbagliato a scrivere perdonami =)
intendevo $ p $
Quindi in questo modo io mi vado a determinare i polinomi caratteristici A e B che sono appunto uguali.
In questo modo invece affermo che il rango di due matrici coniugate è uguale?
intendevo $ p $
Quindi in questo modo io mi vado a determinare i polinomi caratteristici A e B che sono appunto uguali.
"Trilogy":
Qui non sono più d'accordo.
Lo affermi senza usare il Teorema di Binet! Basta notare che
B−λI n =P −1 AP−λP −1 P=P −1 AP−P −1 λP=P −1 (A−λI)P B-lambda I_n= P^(-1)AP-lambdaP^(-1)P=P^(-1)AP-P^(-1)lambdaP=P^(-1)(A-lambdaI)P
In questo modo invece affermo che il rango di due matrici coniugate è uguale?
Il determinante è una conseguenza diretta di Binet.
Riguardo al rango il modo più semplice consiste nel porre il problema usando le trasformazioni lineari e far vedere che quelle due trasformazioni hanno kernel isomorfi.
Riguardo al rango il modo più semplice consiste nel porre il problema usando le trasformazioni lineari e far vedere che quelle due trasformazioni hanno kernel isomorfi.
un'altra cosa, il mio professore in una vecchia prova teorica aveva posto queste due diverse domande:
A) Matrici coniugate hanno lo stesso rango
B) Due matrici quadrate coniugate hanno lo stesso rango
qual è la differenza?
A) Matrici coniugate hanno lo stesso rango
B) Due matrici quadrate coniugate hanno lo stesso rango
qual è la differenza?
Usando il metodo da me suggerito a occhio non ne vedo.
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