Matrici associate ad una applicazione lineare, dubbio!
Buongiorno! ho un grande dubbio per quanto riguarda le matrici associate ad una applicazione lineare:
stando agli appunti delle lezioni, noto che c'è una formula che non coincide con la formula descritta nel libro, e il libro è stato scritto dal mio prof.
la formula che ho sul quaderno è questa:
sia $f:VrarrV^{\prime}$ un'applicazione lineare e siano $B$,$D$, basi di $V$; $B^{\prime}$,$D^{\prime}$ basi di $V^{\prime}$.
se $M(f)_(BB^{\prime})$, $M(f)_(DD^{\prime})$ (sotto la scritta $M(f)$ ci andrebbero le due basi, ma non so come si scriva) sono le matrici associate all'applicazione $f$ rispetto alle coppie di basi ($B,B^{\prime}$),($D,D^{\prime}$), allora:
$M(f)_(DD^{\prime})=Q^(-1)M(f)_(BB^{\prime})P$, dove $P$ è la matrice di cambiamento di coordinate dalla base $D$ alla base $B$ (in $V$) e $Q$ è la matrice di cambiamento di coordinate da $D^{\prime}$ a $B^{\prime}$ (in $V^{\prime}$).
sul libro invece indica con $P$ la matrice di cambiamento di coordinate da $B$ a $D$, e con $Q$ indica la matrice di cambiamento di coordinate da $B^{\prime}$ a $D^{\prime}$.
di quale delle due notazioni devo tenere conto? quale delle due è sbagliata?
e ho un altro dubbio: su un endomorfismo, come funzionano le matrici associate ad una applicazione lineare, e a cosa servono? magari la domanda può risultare un pò stupida ma non l'ho appreso appieno
edit: ringrazio in anticipo per l'aiuto
stando agli appunti delle lezioni, noto che c'è una formula che non coincide con la formula descritta nel libro, e il libro è stato scritto dal mio prof.
la formula che ho sul quaderno è questa:
sia $f:VrarrV^{\prime}$ un'applicazione lineare e siano $B$,$D$, basi di $V$; $B^{\prime}$,$D^{\prime}$ basi di $V^{\prime}$.
se $M(f)_(BB^{\prime})$, $M(f)_(DD^{\prime})$ (sotto la scritta $M(f)$ ci andrebbero le due basi, ma non so come si scriva) sono le matrici associate all'applicazione $f$ rispetto alle coppie di basi ($B,B^{\prime}$),($D,D^{\prime}$), allora:
$M(f)_(DD^{\prime})=Q^(-1)M(f)_(BB^{\prime})P$, dove $P$ è la matrice di cambiamento di coordinate dalla base $D$ alla base $B$ (in $V$) e $Q$ è la matrice di cambiamento di coordinate da $D^{\prime}$ a $B^{\prime}$ (in $V^{\prime}$).
sul libro invece indica con $P$ la matrice di cambiamento di coordinate da $B$ a $D$, e con $Q$ indica la matrice di cambiamento di coordinate da $B^{\prime}$ a $D^{\prime}$.
di quale delle due notazioni devo tenere conto? quale delle due è sbagliata?
e ho un altro dubbio: su un endomorfismo, come funzionano le matrici associate ad una applicazione lineare, e a cosa servono? magari la domanda può risultare un pò stupida ma non l'ho appreso appieno
edit: ringrazio in anticipo per l'aiuto
Risposte
piccolo up 
non c'è proprio nessuno che sappia rispondere al mio quesito?
non c'è proprio nessuno che sappia rispondere al mio quesito?
ulteriore up
dunque.
$f:V\to V'$
Chiamiamo $A$ la matrice $M(f)_{BB'}$ e chiamiamo $A'$ la matrice $M(f)_{DD'}$.
Avrai che $A'=QAP^(-1)$
Allora $Q$ sarà la matrice di passaggio da $B'$ a $D'$
e $P$ la matrice di passaggio da $B$ a $D$
ora come funziona una matrice associata ad un'applicazione lineare?
prendiamo un'applicazione lineare particolare, ad esempio un endomorfismo, uno banale:
$f:RR^3\toRR^3$
$f(x,y,z)=(x+y,x-z,z+y+z)$
consideriamo la base canonica di $RR^3$: $B=(e_1,e_2,e_3)$
la matrice associata all'endomorfismo sarà
$((1,1,0),(1,0,-1),(1,1,1))$
a cosa ci servirà questa matrice? innanzitutto ci serve per determinare nucleo e immagine dell'endomorfismo $f$ e ci serve per dire se l'endomorfismo è diagonalizzabile.
poi non so se ho risposto alla domanda.
$f:V\to V'$
Chiamiamo $A$ la matrice $M(f)_{BB'}$ e chiamiamo $A'$ la matrice $M(f)_{DD'}$.
Avrai che $A'=QAP^(-1)$
Allora $Q$ sarà la matrice di passaggio da $B'$ a $D'$
e $P$ la matrice di passaggio da $B$ a $D$
ora come funziona una matrice associata ad un'applicazione lineare?
prendiamo un'applicazione lineare particolare, ad esempio un endomorfismo, uno banale:
$f:RR^3\toRR^3$
$f(x,y,z)=(x+y,x-z,z+y+z)$
consideriamo la base canonica di $RR^3$: $B=(e_1,e_2,e_3)$
la matrice associata all'endomorfismo sarà
$((1,1,0),(1,0,-1),(1,1,1))$
a cosa ci servirà questa matrice? innanzitutto ci serve per determinare nucleo e immagine dell'endomorfismo $f$ e ci serve per dire se l'endomorfismo è diagonalizzabile.
poi non so se ho risposto alla domanda.
si, sono riuscito a capire, grazie mille per l'aiuto
Se volessi calcolare la matrice associata alla seguente applicazione lineare:
f(x,y,z)=(4x+3y-3z, 6x+y-3z,12x+6y-8z) nel riferimento R=((1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)) ???
f(x,y,z)=(4x+3y-3z, 6x+y-3z,12x+6y-8z) nel riferimento R=((1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)) ???
$((1,0,0),(0,1,0),(1,0,1))^-1((4,3,-3),(6,1,-3),(12,6,-8))((1,0,0),(0,1,0),(1,0,1))$
Calcola $f(v_i), i=1,2,3$ per ogni $v_i$ del riferimento. Otterrai tre vettori, chiamiamoli $w_i ,i=1,2,3$ rispettivamente. Ora devi trovare ogni $w_i$ in coordinate rispetto a $v_1,v_2,v_3$, ad occhio (di solito è facile) o risolvendo il sistema lineare
$x v_1 + y v_2 + z v_3 = w_i$
Fatto ciò, per avere la matrice basta che metti nella colonna $i$-esima le coordinate trovate del vettore $w_i$. Prova.
Paola
$x v_1 + y v_2 + z v_3 = w_i$
Fatto ciò, per avere la matrice basta che metti nella colonna $i$-esima le coordinate trovate del vettore $w_i$. Prova.
Paola
Paola, nel mio caso allora risolvo una cosa del tipo:
$ f(4x+3y-3z)=h1(1,0,1)+h2(0,1,0)+h3(0,0,1) $
$ f(6x+y-3z)=h1(1,0,1)+h2(0,1,0)+h3(0,0,1) $
$ f(12x+6y-8z)=h1(1,0,1)+h2(0,1,0)+h3(0,0,1) $
Ogni volta che risolvo le combinazioni lineari, le componenti(h1, h2, h3) le metto in colonna.
$ f(4x+3y-3z)=h1(1,0,1)+h2(0,1,0)+h3(0,0,1) $
$ f(6x+y-3z)=h1(1,0,1)+h2(0,1,0)+h3(0,0,1) $
$ f(12x+6y-8z)=h1(1,0,1)+h2(0,1,0)+h3(0,0,1) $
Ogni volta che risolvo le combinazioni lineari, le componenti(h1, h2, h3) le metto in colonna.
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