Matrici associate ad una applicazione lineare, dubbio!

Dede912
Buongiorno! ho un grande dubbio per quanto riguarda le matrici associate ad una applicazione lineare:

stando agli appunti delle lezioni, noto che c'è una formula che non coincide con la formula descritta nel libro, e il libro è stato scritto dal mio prof.

la formula che ho sul quaderno è questa:

sia $f:VrarrV^{\prime}$ un'applicazione lineare e siano $B$,$D$, basi di $V$; $B^{\prime}$,$D^{\prime}$ basi di $V^{\prime}$.
se $M(f)_(BB^{\prime})$, $M(f)_(DD^{\prime})$ (sotto la scritta $M(f)$ ci andrebbero le due basi, ma non so come si scriva) sono le matrici associate all'applicazione $f$ rispetto alle coppie di basi ($B,B^{\prime}$),($D,D^{\prime}$), allora:

$M(f)_(DD^{\prime})=Q^(-1)M(f)_(BB^{\prime})P$, dove $P$ è la matrice di cambiamento di coordinate dalla base $D$ alla base $B$ (in $V$) e $Q$ è la matrice di cambiamento di coordinate da $D^{\prime}$ a $B^{\prime}$ (in $V^{\prime}$).

sul libro invece indica con $P$ la matrice di cambiamento di coordinate da $B$ a $D$, e con $Q$ indica la matrice di cambiamento di coordinate da $B^{\prime}$ a $D^{\prime}$.

di quale delle due notazioni devo tenere conto? quale delle due è sbagliata? :shock:

e ho un altro dubbio: su un endomorfismo, come funzionano le matrici associate ad una applicazione lineare, e a cosa servono? magari la domanda può risultare un pò stupida ma non l'ho appreso appieno :cry:


edit: ringrazio in anticipo per l'aiuto :wink:

Risposte
Dede912
piccolo up :oops:
non c'è proprio nessuno che sappia rispondere al mio quesito? :(

Dede912
ulteriore up :oops:

Tagliafico
dunque.

$f:V\to V'$

Chiamiamo $A$ la matrice $M(f)_{BB'}$ e chiamiamo $A'$ la matrice $M(f)_{DD'}$.

Avrai che $A'=QAP^(-1)$

Allora $Q$ sarà la matrice di passaggio da $B'$ a $D'$
e $P$ la matrice di passaggio da $B$ a $D$

ora come funziona una matrice associata ad un'applicazione lineare?

prendiamo un'applicazione lineare particolare, ad esempio un endomorfismo, uno banale:
$f:RR^3\toRR^3$
$f(x,y,z)=(x+y,x-z,z+y+z)$

consideriamo la base canonica di $RR^3$: $B=(e_1,e_2,e_3)$

la matrice associata all'endomorfismo sarà

$((1,1,0),(1,0,-1),(1,1,1))$


a cosa ci servirà questa matrice? innanzitutto ci serve per determinare nucleo e immagine dell'endomorfismo $f$ e ci serve per dire se l'endomorfismo è diagonalizzabile.
poi non so se ho risposto alla domanda.

Dede912
si, sono riuscito a capire, grazie mille per l'aiuto :wink:

gaten
Se volessi calcolare la matrice associata alla seguente applicazione lineare:

f(x,y,z)=(4x+3y-3z, 6x+y-3z,12x+6y-8z) nel riferimento R=((1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)) ???

Sk_Anonymous
$((1,0,0),(0,1,0),(1,0,1))^-1((4,3,-3),(6,1,-3),(12,6,-8))((1,0,0),(0,1,0),(1,0,1))$

_prime_number
Calcola $f(v_i), i=1,2,3$ per ogni $v_i$ del riferimento. Otterrai tre vettori, chiamiamoli $w_i ,i=1,2,3$ rispettivamente. Ora devi trovare ogni $w_i$ in coordinate rispetto a $v_1,v_2,v_3$, ad occhio (di solito è facile) o risolvendo il sistema lineare
$x v_1 + y v_2 + z v_3 = w_i$
Fatto ciò, per avere la matrice basta che metti nella colonna $i$-esima le coordinate trovate del vettore $w_i$. Prova.

Paola

gaten
Paola, nel mio caso allora risolvo una cosa del tipo:

$ f(4x+3y-3z)=h1(1,0,1)+h2(0,1,0)+h3(0,0,1) $
$ f(6x+y-3z)=h1(1,0,1)+h2(0,1,0)+h3(0,0,1) $
$ f(12x+6y-8z)=h1(1,0,1)+h2(0,1,0)+h3(0,0,1) $

Ogni volta che risolvo le combinazioni lineari, le componenti(h1, h2, h3) le metto in colonna.

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