Matrici associate ad endomorfismi
salve a tutti...
prometto che presto imparerò a scrivere matrici e vettori in adeguato linguaggio informatico, ma l'esame di geometria bussa alla mia porta.
Comunque, sto risolvendo un problema sulle matrici associate a endomorfismi, il testo:
f: R^3 -> R^3 Sia A la matrice associata ad f rispetto alla base B=[(1,1,1),(0,1,1),(0,-1,1)]
A=[1 0 1; 2 -1 1; 3 -2 1]
scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica.
Ho già risolto l'esercizio determinando le f(Ci), quindi la matrice associata ha per colonne i vettori ottenuti.
Volevo risolverlo sfruttando la relazione tra le matrici simili:
M(C)=(P^-1)*M(B)*P
dove M(B)=A e P è la matrice di passaggio da B a C, la chiamo P(B,C)
Adesso, in generale, questa matrice P(B,C) ha per colonne le coordinate di B rispetto a C, corretto?
quindi, poichè conosco B (rispetto a C) mi aspettavo che P(B,C)= [1 0 0; 1 1 -1; 1 1 1] cioè i vettori di B in colonna.
ma seguendo lo svolgimento dell'esercizio mi sono accorto che questa non è P(B,C) ma P(C,B), ovvero la matrice di passaggio da C a B, ovvero l'inversa di P(B,C).
l'esercizio argomenta: "poichè conosco le componenti di B rispetto a C, possiamo subito (!) scrivere la P^-1=P(C,B), matrice di passaggio da C a B, quindi calcolare P=(P^-1)^-1..."
c'è qualcosa che non torna, ma forse sono io che sto bollendo dopo una giornata di matrici...
prometto che presto imparerò a scrivere matrici e vettori in adeguato linguaggio informatico, ma l'esame di geometria bussa alla mia porta.
Comunque, sto risolvendo un problema sulle matrici associate a endomorfismi, il testo:
f: R^3 -> R^3 Sia A la matrice associata ad f rispetto alla base B=[(1,1,1),(0,1,1),(0,-1,1)]
A=[1 0 1; 2 -1 1; 3 -2 1]
scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica.
Ho già risolto l'esercizio determinando le f(Ci), quindi la matrice associata ha per colonne i vettori ottenuti.
Volevo risolverlo sfruttando la relazione tra le matrici simili:
M(C)=(P^-1)*M(B)*P
dove M(B)=A e P è la matrice di passaggio da B a C, la chiamo P(B,C)
Adesso, in generale, questa matrice P(B,C) ha per colonne le coordinate di B rispetto a C, corretto?
quindi, poichè conosco B (rispetto a C) mi aspettavo che P(B,C)= [1 0 0; 1 1 -1; 1 1 1] cioè i vettori di B in colonna.
ma seguendo lo svolgimento dell'esercizio mi sono accorto che questa non è P(B,C) ma P(C,B), ovvero la matrice di passaggio da C a B, ovvero l'inversa di P(B,C).
l'esercizio argomenta: "poichè conosco le componenti di B rispetto a C, possiamo subito (!) scrivere la P^-1=P(C,B), matrice di passaggio da C a B, quindi calcolare P=(P^-1)^-1..."
c'è qualcosa che non torna, ma forse sono io che sto bollendo dopo una giornata di matrici...
Risposte
Ciao Hack014 
Vediamo di mettere tutto in modo un pò più chiaro con un diagramma:
.
Nella figura ho cercato di rendere l'idea di come ci stiamo muovendo. Tu devi trovare $ M $, ossia la matrice associata alla base canonica, conoscendo $ A $, la matrice associata alla base $ B $. Per fare questo ti sposti dalla base canonica alla base $ B $. Questa matrice non la conosci, o meglio devi calcolartela. L'altra invece ce l'hai "gratis" perchè, come hai scritto, sono i vettori di $ B $ messi in colonna. $ P^(-1) $ sarà l'inversa di questa. Ora dato che tutte queste sono applicazioni, tu hai una composizione di funzioni o meglio una moltiplicazione di matrici. Visto che la prima che applichi è $ P^(-1) $ questa andrà in fondo alla moltiplicazione, $ A $ starà nel mezzo e $ P $ all'inizio. I totale hai che $ M=PAP^(-1) $.
"Hack14":
Volevo risolverlo sfruttando la relazione tra le matrici simili:
M(C)=(P^-1)*M(B)*P
dove M(B)=A e P è la matrice di passaggio da B a C, la chiamo P(B,C)
Vediamo di mettere tutto in modo un pò più chiaro con un diagramma:
.Nella figura ho cercato di rendere l'idea di come ci stiamo muovendo. Tu devi trovare $ M $, ossia la matrice associata alla base canonica, conoscendo $ A $, la matrice associata alla base $ B $. Per fare questo ti sposti dalla base canonica alla base $ B $. Questa matrice non la conosci, o meglio devi calcolartela. L'altra invece ce l'hai "gratis" perchè, come hai scritto, sono i vettori di $ B $ messi in colonna. $ P^(-1) $ sarà l'inversa di questa. Ora dato che tutte queste sono applicazioni, tu hai una composizione di funzioni o meglio una moltiplicazione di matrici. Visto che la prima che applichi è $ P^(-1) $ questa andrà in fondo alla moltiplicazione, $ A $ starà nel mezzo e $ P $ all'inizio. I totale hai che $ M=PAP^(-1) $.
Grazie Peter, quindi secondo te lo svolgimento dell'esercizio fatto dal testo è sbagliato? La matrice P (da B a C) la calcolo semplicemente come i vettori di B, messi in colonna.
Dove scrivi che
il testo è giusto. Infatti le componenti di $ B $ rispetto a $ C $ sono i vettori stessi e quindi la matrice $ P $ ha per colonne i vettori di $ B $. Allora la matrice da $ C->B $ sarà l'opposta di questa. L'errore sta nell'ordine con cui moltiplichi le matrici. Non è $ P^(-1)M_BP $ ma $ PM_(B)P^(-1) $.
"Hack014":
l'esercizio argomenta: "poichè conosco le componenti di B rispetto a C, possiamo subito (!) scrivere la P^-1=P(C,B), matrice di passaggio da C a B, quindi calcolare P=(P^-1)^-1..."
il testo è giusto. Infatti le componenti di $ B $ rispetto a $ C $ sono i vettori stessi e quindi la matrice $ P $ ha per colonne i vettori di $ B $. Allora la matrice da $ C->B $ sarà l'opposta di questa. L'errore sta nell'ordine con cui moltiplichi le matrici. Non è $ P^(-1)M_BP $ ma $ PM_(B)P^(-1) $.
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