Matrici associate ad app.lineari ed autospazi
Salve, ho problemi a risolvere il seguente esercizio!
Sia $\U = {(x,y,z) in R^3 |x + y — z = 0, x — y + z = 0} $ e sia $\F: R3=>R3 $ l'applicazione lineare avente come nucleo il sottospazio U e tale che $\lambda= 2 $ è autovalore con autospazio generato dai vettori $\(1,1,1) $ e $\(1,1,2) $.
>Provare che F non è suriettiva.
>Scegliere una base D per R^3 formata da autovettori di F e scrivere la matrice associata ad F rispetto alla base D.
Dopo aver associato una base ad U ovvero (0,1,1) non ho la minima idea di come continuare l'esercizio
Grazie a chi mi risponderà!
Sia $\U = {(x,y,z) in R^3 |x + y — z = 0, x — y + z = 0} $ e sia $\F: R3=>R3 $ l'applicazione lineare avente come nucleo il sottospazio U e tale che $\lambda= 2 $ è autovalore con autospazio generato dai vettori $\(1,1,1) $ e $\(1,1,2) $.
>Provare che F non è suriettiva.
>Scegliere una base D per R^3 formata da autovettori di F e scrivere la matrice associata ad F rispetto alla base D.
Dopo aver associato una base ad U ovvero (0,1,1) non ho la minima idea di come continuare l'esercizio
Grazie a chi mi risponderà!
Risposte
Ciao,
per il punto 1 direi che la funziona non è suriettiva perchè il Kerf non ha dimensione 0, quindi dal teorema delle dimensioni segue che Imf non ha la stessa dimensione del sottospazio U e quindi non può essere suriettiva.
Però non so se basti questo per dirlo.
Aspettiamo il parere di qualcuno più bravo di me
per il punto 1 direi che la funziona non è suriettiva perchè il Kerf non ha dimensione 0, quindi dal teorema delle dimensioni segue che Imf non ha la stessa dimensione del sottospazio U e quindi non può essere suriettiva.
Però non so se basti questo per dirlo.
Aspettiamo il parere di qualcuno più bravo di me
Beh, innanzitutto grazie per la risposta 
Comunque per riordinare le idee, come mi hai fatto notare...
basta ricordare che $dim(im(f))+dim(ker(f)=dim(spazio di partenza)$
sappiamo che appunto $dim(ker(f))=1 $,questo implica che $dim(im(f))=2$ .
Quindi la funzione e' NON E' SURIETTIVA! (visto che im(f) e' un piano e non tutto lo spazio R^3)
Io credo di si, per come hai verificato tu stesso
Aspetto qualcun'altro per il secondo punto!
Comunque per riordinare le idee, come mi hai fatto notare...
basta ricordare che $dim(im(f))+dim(ker(f)=dim(spazio di partenza)$
sappiamo che appunto $dim(ker(f))=1 $,questo implica che $dim(im(f))=2$ .
Quindi la funzione e' NON E' SURIETTIVA! (visto che im(f) e' un piano e non tutto lo spazio R^3)
"Samy21":
Però non so se basti questo per dirlo.
Io credo di si, per come hai verificato tu stesso
Aspetto qualcun'altro per il secondo punto!
Si anche io penso che basti questo, però meglio ricevere conferma
Per la seconda parte sinceramente non so come si dovrebbe fare però possiamo provarci insieme (se nessuno risponde prima
).
Sappiamo dalla definizione di autospazio che $F(v)=\lambda v$, in questo caso noi abbiamo i vettori che generano il sottospazio e l'autovalore.
Come base quindi potremmo prendere $B=[v_1=(1,1,1),v_2=(1,1,2), e_1=(1,0,0)]$ considerando il metodo del completamento ad una base.
A questo punto tu come procederesti?
Per la seconda parte sinceramente non so come si dovrebbe fare però possiamo provarci insieme (se nessuno risponde prima
).Sappiamo dalla definizione di autospazio che $F(v)=\lambda v$, in questo caso noi abbiamo i vettori che generano il sottospazio e l'autovalore.
Come base quindi potremmo prendere $B=[v_1=(1,1,1),v_2=(1,1,2), e_1=(1,0,0)]$ considerando il metodo del completamento ad una base.
A questo punto tu come procederesti?
Io invece avrei provato con un sistema?
data un F generica $((a,b,c),(d,e,r),(g,h,i))$
$F((1),(1),(2))= 2((1),(1),(2))$ (dalla def. di autovettore e autovalore)
$F((1),(1),(1))= 2((1),(1),(1))$ (dalla def. di autovettore e autovalore)
$F((0),(1),(1))= ((0),(0),(0))$ (dalla def.di ker(f))
quindi....risulta IL SISTEMA
a+b+2c=2
d+e+2r=2
g+h+2i=4
a+b+c=2
d+e+r=2
g+h+i=2
b+c=0
e+r=0
h+i=0
TUTTAVIA l'unica che soluzione sembra che sia....
$((2,0,0),(2,0,0),(4,0,0))$
E' SBAGLIATA e ce ne accorgiamo da due fatti :
1)moltiplicità algebrica(2)=1 (invece deve essere 2!!)
2)dim(im(f))=1 e non 2 come avevo verificato prima.
Cosa ho sbagliato?
Faccio notare che in questo modo non ho scelto alcuna base per scrivere la matrice!
A questo punto ho esaurito le idee
data un F generica $((a,b,c),(d,e,r),(g,h,i))$
$F((1),(1),(2))= 2((1),(1),(2))$ (dalla def. di autovettore e autovalore)
$F((1),(1),(1))= 2((1),(1),(1))$ (dalla def. di autovettore e autovalore)
$F((0),(1),(1))= ((0),(0),(0))$ (dalla def.di ker(f))
quindi....risulta IL SISTEMA
a+b+2c=2
d+e+2r=2
g+h+2i=4
a+b+c=2
d+e+r=2
g+h+i=2
b+c=0
e+r=0
h+i=0
TUTTAVIA l'unica che soluzione sembra che sia....
$((2,0,0),(2,0,0),(4,0,0))$
E' SBAGLIATA e ce ne accorgiamo da due fatti :
1)moltiplicità algebrica(2)=1 (invece deve essere 2!!)
2)dim(im(f))=1 e non 2 come avevo verificato prima.
Cosa ho sbagliato?
Faccio notare che in questo modo non ho scelto alcuna base per scrivere la matrice!
A questo punto ho esaurito le idee
Io anche pensavo di ragionare come te, però il fatto che dica che il $KerF=U$ mi lascia pensare che il generico vettore ${(0,z,z)| z in RR}$ dovrebbe far parte della base D che stiamo cercando.
Poi penso che la base D, in sintesi, dovrebbe essere ${(1,1,1),(1,1,2),(0,1,1)}$
A questo punto per scrivere la matrice associata dovremmo trovare le immagini di questi vettori e procedere al solito.
Tu alla fine hai il valore corretto della matrice? (giusto per capire se sto quagliando qualcosa o se sto solo dicendo sciocchezze )
Poi penso che la base D, in sintesi, dovrebbe essere ${(1,1,1),(1,1,2),(0,1,1)}$
A questo punto per scrivere la matrice associata dovremmo trovare le immagini di questi vettori e procedere al solito.
Tu alla fine hai il valore corretto della matrice? (giusto per capire se sto quagliando qualcosa o se sto solo dicendo sciocchezze
)
guardando la risposta la base e' giusta!
inoltre la matrice e' una matrice diagonale con autovalori 2,2,0
$((0,0,0),(0,2,0),(0,0,2))$
Quindi ricapitolando
Abbiamo completato una base di $RR^3$ con il nucleo perche' non e' linearmente dipendente con l'altro autospazio
>gli autovettori formano sempre basi di $RR^3$?
>Perchè non mi esce giusto il valore della matrice nel modo in cui ho fatto io?
>Possiamo usare gli autovettori come base di $RR^3$ per la funzione?
inoltre la matrice e' una matrice diagonale con autovalori 2,2,0
$((0,0,0),(0,2,0),(0,0,2))$
Quindi ricapitolando
Abbiamo completato una base di $RR^3$ con il nucleo perche' non e' linearmente dipendente con l'altro autospazio
>gli autovettori formano sempre basi di $RR^3$?
>Perchè non mi esce giusto il valore della matrice nel modo in cui ho fatto io?
>Possiamo usare gli autovettori come base di $RR^3$ per la funzione?
Continuando a provare...e sbatterci la testa....
avendo già due autospazi che vengono completati a basi di $RR^3$ dal nucleo
si può creare una matrice associata dalla base appena creata e questa sarà diagonale per definizione perchè composta da basi create dagli autospazi! Avrà lungo le colonne gli autovalori
sappiamo che $F((0),(1),(1))= ((0),(0),(0))$ ovvero che $F((0),(1),(1))= 0((0),(1),(1))$
Quindi che 0 e' uno degli autovalori!!
Siccome ora abbiamo tutti gli autovalori che sono $2$ con moltiplicità algebrica 2 e $0$ con moltiplicità algebrica 1 possiamo associare la matrice che abbiamo detto essere diagonale
....
$((0,0,0),(0,2,0),(0,0,2))$
Aspetto conferme!
avendo già due autospazi che vengono completati a basi di $RR^3$ dal nucleo
si può creare una matrice associata dalla base appena creata e questa sarà diagonale per definizione perchè composta da basi create dagli autospazi! Avrà lungo le colonne gli autovalori
sappiamo che $F((0),(1),(1))= ((0),(0),(0))$ ovvero che $F((0),(1),(1))= 0((0),(1),(1))$
Quindi che 0 e' uno degli autovalori!!
Siccome ora abbiamo tutti gli autovalori che sono $2$ con moltiplicità algebrica 2 e $0$ con moltiplicità algebrica 1 possiamo associare la matrice che abbiamo detto essere diagonale
....
$((0,0,0),(0,2,0),(0,0,2))$
Aspetto conferme!
Io penso sia corretto, però meglio ricevere conferma da esperti del settore
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