Matrici associate a endomorfismi
Allora ho un dubbio riguardo questo esercizio svolto sul mio eserciziario:
Sia $A \in M_(3)(R)$
$A=|(1,-1,1),(2,1,7),(-2,-3,-1)|$
Trova le matrici associate all'endomorfismo $L_A:R^3 rarr R^3$ rispetto alle basi
$B={|(1),(2),(-1)|,|(0),(1),(2)|,|(1),(2),(0)|}$ e
$C={|(-1),(-2),(1)|,|(0),(-2),(1)|,|(0),(-1),(1)|}$
L'esercizio è spiegato in questo modo (la B e la C sarebbero in corsivo, perché associate a basi mentre le lettere maiuscole normali sono associate a matrici)
la matrice $A$ rappresenta $L_A$ rispetto alla base canonica, mentre le matrici $B$ e $C$ sono le matrici di cambiamento di base dalla base canonica alle B, C (considerate queste delle lettere maiuscole in corsivo).
Poi viene detto:
Troviamo quindi che la matrice associata a $L_A$ rispetto a B è
$B^-1AB=|...|$ (non ve le riporto perché non sono i calcoli al momenti che mi interessano)
mentre la matrice che rappresenta $L_A$ rispetto a C è
$C^-1AC=|...|$
Qualcuno mi spiega da dove esce questa formula. Io penso di aver capito a linee generali il senso di tale calcolo:
siccome due matrici sono simili se rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse, e siccome due matrici $A, A'$ sono simili se esiste $B \in GL_n(K)$ t.c $A'=B^-1AB$.
In questo caso mi sembra che le matrici da trovare siano proprio la $A'$ dell'equazione precedente (nei due casi rispettivi ovviamente)
Però non capisco per quale motivo le nostre $B$ del gruppo lineare sono proprio le matrici $B,C$. Mi accorgo che ciò che ho scritto è molto confuso però non so come spiegarmi in maniera migliore.
Spero che qualcuno possa aiutarmi
Sia $A \in M_(3)(R)$
$A=|(1,-1,1),(2,1,7),(-2,-3,-1)|$
Trova le matrici associate all'endomorfismo $L_A:R^3 rarr R^3$ rispetto alle basi
$B={|(1),(2),(-1)|,|(0),(1),(2)|,|(1),(2),(0)|}$ e
$C={|(-1),(-2),(1)|,|(0),(-2),(1)|,|(0),(-1),(1)|}$
L'esercizio è spiegato in questo modo (la B e la C sarebbero in corsivo, perché associate a basi mentre le lettere maiuscole normali sono associate a matrici)
la matrice $A$ rappresenta $L_A$ rispetto alla base canonica, mentre le matrici $B$ e $C$ sono le matrici di cambiamento di base dalla base canonica alle B, C (considerate queste delle lettere maiuscole in corsivo).
Poi viene detto:
Troviamo quindi che la matrice associata a $L_A$ rispetto a B è
$B^-1AB=|...|$ (non ve le riporto perché non sono i calcoli al momenti che mi interessano)
mentre la matrice che rappresenta $L_A$ rispetto a C è
$C^-1AC=|...|$
Qualcuno mi spiega da dove esce questa formula. Io penso di aver capito a linee generali il senso di tale calcolo:
siccome due matrici sono simili se rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse, e siccome due matrici $A, A'$ sono simili se esiste $B \in GL_n(K)$ t.c $A'=B^-1AB$.
In questo caso mi sembra che le matrici da trovare siano proprio la $A'$ dell'equazione precedente (nei due casi rispettivi ovviamente)
Però non capisco per quale motivo le nostre $B$ del gruppo lineare sono proprio le matrici $B,C$. Mi accorgo che ciò che ho scritto è molto confuso però non so come spiegarmi in maniera migliore.
Spero che qualcuno possa aiutarmi
Risposte
...
Per comprendere come debba essere impostata la matrice del cambiamento di base, può valere la pena aggiungere un esempio concreto. Poiché:
le componenti dei tre vettori della base rispetto alla base medesima sono, rispettivamente:
A questo punto, basta osservare che la matrice sottostante:
quando agisce sulle componenti di cui sopra:
rende proprio le componenti dei vettori della base rispetto alla base naturale. Ergo, la matrice sottostante:
fa il servizio inverso. Per concludere, la matrice che rappresenta la trasformazione lineare rispetto alla base naturale:
deve essere moltiplicata a destra per:
in modo tale da ricevere le componenti rispetto alla base naturale, e a sinistra per:
in modo tale da offrire le componenti rispetto alla base prescelta. In definitiva:
$[[1],[2],[-1]]=1*[[1],[2],[-1]]+0*[[0],[1],[2]]+0*[[1],[2],[0]]$
$[[0],[1],[2]]=0*[[1],[2],[-1]]+1*[[0],[1],[2]]+0*[[1],[2],[0]]$
$[[1],[2],[0]]=0*[[1],[2],[-1]]+0*[[0],[1],[2]]+1*[[1],[2],[0]]$
le componenti dei tre vettori della base rispetto alla base medesima sono, rispettivamente:
$[[1],[0],[0]]$
$[[0],[1],[0]]$
$[[0],[0],[1]]$
A questo punto, basta osservare che la matrice sottostante:
$[[1,0,1],[2,1,2],[-1,2,0]]$
quando agisce sulle componenti di cui sopra:
$[[1,0,1],[2,1,2],[-1,2,0]][[1],[0],[0]]=[[1],[2],[-1]]$
$[[1,0,1],[2,1,2],[-1,2,0]][[0],[1],[0]]=[[0],[1],[2]]$
$[[1,0,1],[2,1,2],[-1,2,0]][[0],[0],[1]]=[[1],[2],[0]]$
rende proprio le componenti dei vettori della base rispetto alla base naturale. Ergo, la matrice sottostante:
$[[1,0,1],[2,1,2],[-1,2,0]]^(-1)$
fa il servizio inverso. Per concludere, la matrice che rappresenta la trasformazione lineare rispetto alla base naturale:
$[[1,-1,1],[2,1,7],[-2,-3,-1]]$
deve essere moltiplicata a destra per:
$[[1,0,1],[2,1,2],[-1,2,0]]$
in modo tale da ricevere le componenti rispetto alla base naturale, e a sinistra per:
$[[1,0,1],[2,1,2],[-1,2,0]]^(-1)$
in modo tale da offrire le componenti rispetto alla base prescelta. In definitiva:
$[[1,0,1],[2,1,2],[-1,2,0]]^(-1)[[1,-1,1],[2,1,7],[-2,-3,-1]][[1,0,1],[2,1,2],[-1,2,0]]$
Allora non penso di aver capito, cercherò di fare il punto della situazione siccome questo argomento mi perseguita da tempo e vorrei riuscire a capirlo(c'è da dire che io ho usato anche il metodo del mio libro perciò l'esercizio l'ho risolto comunque, però vorrei imparare a lavorare con le matrici, che risulta molto più veloce anche se non penso ci riuscirò):
Supponiamo di avere due basi B e B'. La matrice cambiamento di base (m.c.b), chiamiamola $B$, si ottiene esprimendo i vettori della nuova base B' come comb.lin dei vettori della vecchia base B. E quindi $B^-1$, se finora ho capito bene, è per forza la m.c.b da B' a B. Tuttavia per le coordinate il discorso è diverso giusto?Infatti la matrice $B$, se da una parte ci trasforma i vettori della vecchia base in quelli della nuova, tuttavia, se ricordo bene, essa trasforma le coordinate rispetto alla base nuova nelle coordinate rispetto alla vecchia(questo perché le colonne di $B$ non sono altro che le coordinate dei vettori di B' rispetto a B).
Dunque, ritornando all'esercizio, io credo di aver capito, intuitivamente, Elias, il motivo per cui a sinistra si moltiplica per $B^-1$(e rispettivamente $C^-1$), ovvero lo facciamo perché vogliamo che i vettori ottenuti dal prodotto righe x colonne $AB$ siano, non so che verbo usare, "trasformati", o comunque mandati nella nuova base B (prima erano rispetto alla base naturale se ho capito ciò che hai scritto).
Tu mi hai detto questo l'altra volta:
Quindi quel $AB$, prende i vettori di $A$, espressi rispetto alla base canonica Bc e li manda in una seconda base, ma quale? Tu hai scritto che li manda nella base naturale ma non dovrebbe mandarli già di per se nella base B (che è ciò che cercavamo), ma se così fosse l'esercizio sarebbe finito, invece non lo è perché bisogna poi rimoltiplicare per $B^-1$ per arrivare alla base B?
Quell' $AB$ cosa ci fa ottenere effettivamente? non ho capito questo
Supponiamo di avere due basi B e B'. La matrice cambiamento di base (m.c.b), chiamiamola $B$, si ottiene esprimendo i vettori della nuova base B' come comb.lin dei vettori della vecchia base B. E quindi $B^-1$, se finora ho capito bene, è per forza la m.c.b da B' a B. Tuttavia per le coordinate il discorso è diverso giusto?Infatti la matrice $B$, se da una parte ci trasforma i vettori della vecchia base in quelli della nuova, tuttavia, se ricordo bene, essa trasforma le coordinate rispetto alla base nuova nelle coordinate rispetto alla vecchia(questo perché le colonne di $B$ non sono altro che le coordinate dei vettori di B' rispetto a B).
Dunque, ritornando all'esercizio, io credo di aver capito, intuitivamente, Elias, il motivo per cui a sinistra si moltiplica per $B^-1$(e rispettivamente $C^-1$), ovvero lo facciamo perché vogliamo che i vettori ottenuti dal prodotto righe x colonne $AB$ siano, non so che verbo usare, "trasformati", o comunque mandati nella nuova base B (prima erano rispetto alla base naturale se ho capito ciò che hai scritto).
Tu mi hai detto questo l'altra volta:
Una matrice di cambiamento di base, se moltiplicata per le componenti di un generico vettore rispetto ad una prima base, rende le componenti dello stesso vettore rispetto ad una seconda base
Quindi quel $AB$, prende i vettori di $A$, espressi rispetto alla base canonica Bc e li manda in una seconda base, ma quale? Tu hai scritto che li manda nella base naturale ma non dovrebbe mandarli già di per se nella base B (che è ciò che cercavamo), ma se così fosse l'esercizio sarebbe finito, invece non lo è perché bisogna poi rimoltiplicare per $B^-1$ per arrivare alla base B?
Quell' $AB$ cosa ci fa ottenere effettivamente? non ho capito questo
Non ho ancora letto con la dovuta attenzione il tuo ultimo messaggio. Tuttavia, sperando di chiarire ulteriormente, nel prodotto sottostante:
La matrice di destra:
riceve le componenti del vettore rispetto alla base diversa dalla naturale e offre, alla matrice centrale, le componenti del vettore rispetto alla base naturale.
La matrice centrale:
riceve le componenti del vettore rispetto alla base naturale e offre, alla matrice di sinistra, le componenti del vettore trasformato rispetto alla base naturale.
La matrice di sinistra:
riceve le componenti del vettore trasformato rispetto alla base naturale e offre le componenti del vettore trasformato rispetto alla base diversa dalla naturale.
$[[1,0,1],[2,1,2],[-1,2,0]]^(-1)[[1,-1,1],[2,1,7],[-2,-3,-1]][[1,0,1],[2,1,2],[-1,2,0]]$
Passo 1
La matrice di destra:
$[[1,0,1],[2,1,2],[-1,2,0]]$
riceve le componenti del vettore rispetto alla base diversa dalla naturale e offre, alla matrice centrale, le componenti del vettore rispetto alla base naturale.
Passo 2
La matrice centrale:
$[[1,-1,1],[2,1,7],[-2,-3,-1]]$
riceve le componenti del vettore rispetto alla base naturale e offre, alla matrice di sinistra, le componenti del vettore trasformato rispetto alla base naturale.
Passo 3
La matrice di sinistra:
$[[1,0,1],[2,1,2],[-1,2,0]]^(-1)$
riceve le componenti del vettore trasformato rispetto alla base naturale e offre le componenti del vettore trasformato rispetto alla base diversa dalla naturale.
Ah ok adesso ha tutto più senso infatti la matrice di mezzo trasforma i vettori, ricevuti rispetto alla base naturale, e li restituisce ovviamente sempre rispetto alla base naturale, affinché possano essere mandati nella base richiesta. Adesso ho capito, grazie @anonymous_0b37e9 per i chiarimenti
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