Matrici associate a applicazioni lineari rispetto alle basi

[Lay1824]

ciao a tutti!
qualcuno mi potrebbe spiegare i procedimenti per trovare la matrice associata a un'applicazione lineare rispetto a certe basi?

per esempio: L:R3--->R2:(x,y,z)--->(x-y, x+2z). trovare la matrice M associata a L rispetto alle basi B=(1, 3^1/2, 0) , (0, 1, 0), (0, 0, 1) , B'=(1, 2^1/2), (0, 1)
Indicata con F l'applicazione lineare associata a M rispetto alle basi B e B', calcolare F(x,y,z).

La soluzione è:
posto M=(mij),
L(1, 3^1/2, 0)= (1-3^1/2, 1)= m11 (1, 2^1/2) + m21 (0,1)
L(0,1,0)= (-1,0) = m12 (1, 2^1/2) + m22 (0,1)
L(0,0,1)= m13 (1, 2^1/2) + m23 (0,1)

ne ricaviamo gli elementi di M, quindi RIGA1= (1-3^1/2, -1, 0) RIGA2= (1+6^1/2-2^1/2, 2^1/2, 2).

per l'applicazione associata a M, dobbiamo conoscere le coordinate del vettore v=(x,y,z). tali coordinate sono i numeri reali a,b,c che si ottengono risolvendo l'equazione a(1, 3^1/2, 0) + b(0,1,0) + c(0,0,1)=(x,y,z)

Si ha a=x, b=y-3^1/2 x, c=z. le coordinate di F(v) si calcolano come segue: MXv=M (x, y-3^1/2 x, z) (in una colonna e non in una riga) = (x-y, (1-2^1/2)x + 2^1/2 y + 2z)

quindi F(x,y,z) è il vettore di coordinate x-y, (1-2^1/2)x + 2^1/2 y + 2z . Ne segue:
F(x,y,z)= (x-y)(1, 2^1/2) + (1-2^1/2)x + 2^1/2 y + 2z (0,1)= (x-y, x+2z)


Quello che non capisco è il significato dei passaggi, sapere perchè si deve procedere in questo modo, insomma che cosa sto facendo!

[Pozzetto1]

Riscrivi utilizzando-->http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html

Magari sarà più chiaro!