Matrici Aggiunte e Matrici Trasposte

[sansa-votailprof]

La definizione di Matrice Aggiunta è:

Adj(A)=(-1)^i+j det(A_ij) con i,j=1,...,n

^: significa che gli i numeri o lettere successivi sono esponenziali
_: " pedici


La definizione di Trasposta:
In buona sostanza si scambiano il numero di riga con il numero di colonna dell'elemento-> se l'elemento è a_12, diventerà a_21

Mi sapete spiegare le differenze? Mi sapete dire se la diagonalizzazione influisce su queste definizioni?
Grazie a tutti

[ViciousGoblin]

Scusate ma dai miei ricordi di algebra lneare l'aggiunta di una matrice e' semplicemente il coniugato dalla trasposta - nell'incertezza ho controllato questa pagina
http://it.wikipedia.org/wiki/Glossario_sulle_matrici
che confermerebbe la mia ipotesi-

In realta' c'e' sotto la nozione di operatore aggiunto di un operatore lineare $L:X\to Y$ dove $X$ e $Y$ sono spazi lineari dotati di un prodotto scalare: l'aggiunto
$L^\star Y\to X$ e' quall'operatore lineare (che esiste ed e' unico) per cui $_Y=_X$ per ogni $x\in X$ e ogni $y\in Y$.

Se si prendono come spazi gli $X=CC^n$, $Y=CC^M$ e come prodotti scalari quelli soliti e' facile vedere che la matrice che rappresenta $L^\star$ e' per l'appunto la
coniugata della trasposta della matrice che rappresenta $L$. Nel caso reale l'operazione di coniugazione non serve e basta considerare la trasposta.

Analogamente si dovrebbe dire che una matrice e' autoaggiunta (lo si dice di sicuro per gli operatotr) se coincide con la sua aggiunta (quindi $N=M$ e siamo nel caso complesso)
mentre si usa il termine simmetrica nel caso reale

[sansa-votailprof]

"ViciousGoblin":Scusate ma dai miei ricordi di algebra lneare l'aggiunta di una matrice e' semplicemente il coniugato dalla trasposta - nell'incertezza ho controllato questa pagina
http://it.wikipedia.org/wiki/Glossario_sulle_matrici
che confermerebbe la mia ipotesi-

In realta' c'e' sotto la nozione di operatore aggiunto di un operatore lineare $L:X\to Y$ dove $X$ e $Y$ sono spazi lineari dotati di un prodotto scalare: l'aggiunto
$L^\star Y\to X$ e' quall'operatore lineare (che esiste ed e' unico) per cui $_Y=_X$ per ogni $x\in X$ e ogni $y\in Y$.

Se si prendono come spazi gli $X=CC^n$, $Y=CC^M$ e come prodotti scalari quelli soliti e' facile vedere che la matrice che rappresenta $L^\star$ e' per l'appunto la
coniugata della trasposta della matrice che rappresenta $L$. Nel caso reale l'operazione di coniugazione non serve e basta considerare la trasposta.

Analogamente si dovrebbe dire che una matrice e' autoaggiunta (lo si dice di sicuro per gli operatotr) se coincide con la sua aggiunta (quindi $N=M$ e siamo nel caso complesso)
mentre si usa il termine simmetrica nel caso reale

Ragazzi qui ci sto capendo ben poco. Purtroppo non ho solide basi di analisi e tendo a estrapolare dalla definizione quello che mi servirà per svolgere l'esercizio che sarebbe poi l'unica cosa che mi chiedranno all'esame...
insomma la trasposta in pratica per me è questa:
123 147
456 -> 258
789 369
Questa trasposta coniugata però non l'ho mica capita...non avendo mai interpretato le definizioni non riesco a capire neanche questa: adj(A)=(-1)^i+j det(a_ij) e tanto meno l'inversa per come è spiegata dal libro...!
Se riusciste a dirmelo in maniera pratica ve ne sarei molto grato.

[ViciousGoblin]

O.K. prendo atto dell'esistenza di quest'altra accezione del termine "aggiunta" - in effetti il messaggio originario sembra parlare di questa-


@sansa
Non mi e' chiaro cosa non capisci - forse non riesci a decifrare le definizioni per cui provo con un esempio - faccio un caso tre per tre,in maniera che la differenza si vede
Se $A=((1,0,2),(0,2,2),(1,3,0))$ allora la sua trasposta, che si ottiene scambiando righe con colonne, e' $A^t=((1,0,1),(0,2,3),(2,2,0))$ (nota che la trasposta si puo' fare anche se la matrice non e' quadrata, in tal caso da una $M\times N$ si passa a una $N\times M$).

Per l'aggiunta invece (nel senso che scrivevi tu) troviamo prima la matrice dei cofattori che viene $C=((-6,2,-2),(6,-2,-3),(-4,-2,2))$ - come ho trovato, per esempio l'elemento $c_{2,1}$ ?
Ho preso la matrice $A$ e ho cancellato la seconda riga e la prima colonna, ottenendo la matrice due per due $A_{2,1}=((0,2),(3,0))$, di questa ho fatto il determinante, da viene $-6$ e quest'ultimo l'ho moltiplicato per $-1$ dato che $2+1=3$ e' dispari con questa regola genero tutti gli elemnto di $C$. L'aggiunta di $A$ e' allora
$adj(A)=C^t=((-6,6,-4),(2,-2,-2),(-2,-3,2))$.

Se provi a calcolare $A adj(A)$ vedrai che viene $((-10,0,0),(0,-10,0),(0,0,-10))$, dove $-10$ e' il determinante di $A$ e quindi la matrice inversa di $A$ e'
$A^{-1]-1/10 adj(A)=((-3/5,3/5,-2/5),(1/5,-1/5,-1/5),(-1/5,-3/10,1/5))$.

[sansa-votailprof]

"ViciousGoblin":O.K. prendo atto dell'esistenza di quest'altra accezione del termine "aggiunta" - in effetti il messaggio originario sembra parlare di questa-


@sansa
Non mi e' chiaro cosa non capisci - forse non riesci a decifrare le definizioni per cui provo con un esempio - faccio un caso tre per tre,in maniera che la differenza si vede
Se $A=((1,0,2),(0,2,2),(1,3,0))$ allora la sua trasposta, che si ottiene scambiando righe con colonne, e' $A^t=((1,0,1),(0,2,3),(2,2,0))$ (nota che la trasposta si puo' fare anche se la matrice non e' quadrata, in tal caso da una $M\times N$ si passa a una $N\times M$).

Per l'aggiunta invece (nel senso che scrivevi tu) troviamo prima la matrice dei cofattori che viene $C=((-6,2,-2),(6,-2,-3),(-4,-2,2))$ - come ho trovato, per esempio l'elemento $c_{2,1}$ ?
Ho preso la matrice $A$ e ho cancellato la seconda riga e la prima colonna, ottenendo la matrice due per due $A_{2,1}=((0,2),(3,0))$, di questa ho fatto il determinante, da viene $-6$ e quest'ultimo l'ho moltiplicato per $-1$ dato che $2+1=3$ e' dispari con questa regola genero tutti gli elemnto di $C$. L'aggiunta di $A$ e' allora
$adj(A)=C^t=((-6,6,-4),(2,-2,-2),(-2,-3,2))$.

Se provi a calcolare $A adj(A)$ vedrai che viene $((-10,0,0),(0,-10,0),(0,0,-10))$, dove $-10$ e' il determinante di $A$ e quindi la matrice inversa di $A$ e'
$A^{-1]-1/10 adj(A)=((-3/5,3/5,-2/5),(1/5,-1/5,-1/5),(-1/5,-3/10,1/5))$.

Cavolo! Grazie davvero. Tutta questa roba non l'avevo proprio capita...
Non ho ancora capito bene il calcolo dell'elemento c_21. Mi confondo molto con il calcolo dei Det 3x3. In quel caso si prendono i complementi algebrici(che qui assomiglia alla matrice dei cofattori, a proposito i cofattori sarebbero i comp algebrici?) di una linea e li si moltiplica con gli elementi della stessa. E poi il calcolo 1+2 perche bisogna farlo? Che ce ne facciamo di un numero dispari? E come si generano gli elementi di C?
Grazie mille.

[89mary-votailprof]

tra gli appunti del sito c'è questo materiale che penso possa andare bene. secondo me è molto utile

https://www.matematicamente.it/staticfil ... etria1.pdf