Matrici a blocchi e determinanti
ma va???..il determinante di una matrice A è la forma multilineare alterna data da $4 \times 4$ è $\sum_{\pi \in S^4} \epsilon(\pi) a_{1, \pi(1)} a_{2, \pi(2)} a_{3, \pi(3)} a_{4, \pi(4)}$ non hai modo di raccoliere i 24 addendi della somma come vuoi fare te...l'unico modo di riduzione che hai è quello di Laplace che altro non è che una riscrittura della sommatoria sopra..il controesempio è facilissimo prendi una matrice a blocchi con zeri invertibile..secondo il tuo ragionamento avrebbe determinante nullo
Risposte
il fatto è che una matrice può essere invertibile pur avendo dei minori che non lo siano
"Sergio":
Sì, però leggo qui, a pag. 100:
"Se la matrice è a blocchi:
$"det"((A,B),(0,D))="det"(A)"det"(D)="det"((A,0),(C,D))$"
Vedo che hai proseguito lo studio del pdf che ti avevo allegato
bene, com'è, niente male vero?La mia opinione è questa: poiché subito dopo dice che ciò segue dalla definizione di determinante osservando che "ogni addendo del determinante che coinvolge un elemento di B o C coinvolge anche un fattore nullo" potrebbe essere che si possa praticare questo tipo di procedimento sulle matrici che hanno un blocco di zeri simmetrico (in qualche senso) a quello (uno di quelli) che il procedere "facile" (ovvero considerando i blocchi come numeri) ci potrebbe indurre a trascurare. In effetti, suggerisce di generalizzare, quindi si può costruire un lemma che si occupa di questi casi.
Beh, per esempio direi con sufficiente sicurezza che il caso di una "matrice a blocchi triangolare" si risolve così:
$|((A_{11},A_{12},...,A_{1n}),(0,A_{22},...,A_{2n}),(..., ..., ..., ...),(0,0,...,A_{n\ n}))| = |A_{11}|...|A_{n\ n}|$.
$|((A_{11},A_{12},...,A_{1n}),(0,A_{22},...,A_{2n}),(..., ..., ..., ...),(0,0,...,A_{n\ n}))| = |A_{11}|...|A_{n\ n}|$.
Anche ora do un contributo senza avere letto in dettaglio i messaggi precedenti (scusate se dico cavolate o ovvietà...)
Credo che il lemma che cercate dica che, se $A=((A_1),(---),(A_2))$ allora il determinante di $A$ è la somma
dei determinanti di tutti i minori quadrati di $A_1$ moltiplicati per i determinanti dei corrispondenti minori di $A_2$ moltiplicati ancora per $\pm1$
(con un opportuna regola dei segni). Nel caso particolare $A=((A'_1,0),(B,A'_2))$, con $A'_1$ e $A'_2$ quadrate, si ha
$A_1=(A'_1,0)$ e $A_2=(B,A'_2)$ e viene $det(A)=det(A'_1)det(A'_2)$ perchè $A'_1$ è l'unico minore quadrato di $A_1$ che non è
sicuramente nullo e il minore corrispondente ad $A'_1$ è $A'_2$. Stesso discorso se $A=((A'_1,C),(0,A'_2))$.
Almeno credo.
Credo che il lemma che cercate dica che, se $A=((A_1),(---),(A_2))$ allora il determinante di $A$ è la somma
dei determinanti di tutti i minori quadrati di $A_1$ moltiplicati per i determinanti dei corrispondenti minori di $A_2$ moltiplicati ancora per $\pm1$
(con un opportuna regola dei segni). Nel caso particolare $A=((A'_1,0),(B,A'_2))$, con $A'_1$ e $A'_2$ quadrate, si ha
$A_1=(A'_1,0)$ e $A_2=(B,A'_2)$ e viene $det(A)=det(A'_1)det(A'_2)$ perchè $A'_1$ è l'unico minore quadrato di $A_1$ che non è
sicuramente nullo e il minore corrispondente ad $A'_1$ è $A'_2$. Stesso discorso se $A=((A'_1,C),(0,A'_2))$.
Almeno credo.
Caro Sergio,
anch' io per caso , giorni fa , mi sono imbattuto nella tua stessa questione , ci ho pensato un po' e ho scoperto che il modo di trovare il determinante che hai usato tu funziona solo se una dei quattro blocchi e' formato da tutti numeri 0. Sono anche riuscito a trovare un teorema per dimostrarlo. Se vuoi te lo mando. A queste condizioni , credo che sia un eccellente metodo per trovare i determinanti.Ciao.
anch' io per caso , giorni fa , mi sono imbattuto nella tua stessa questione , ci ho pensato un po' e ho scoperto che il modo di trovare il determinante che hai usato tu funziona solo se una dei quattro blocchi e' formato da tutti numeri 0. Sono anche riuscito a trovare un teorema per dimostrarlo. Se vuoi te lo mando. A queste condizioni , credo che sia un eccellente metodo per trovare i determinanti.Ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo