Matrici
Sia A= $ S( ( 3 , -1 ),( -1 , 3 ) ) $ Discutere di una matrice simmetrica B tale che B^2=A, in caso esista determinarla e determinare gli autovalori.
Non riesco a capire cosa chieda, A è simmetrica, ma vuole che prenda un B matrice simmetrica di A? per poi fare B^2?
Grazie per le eventuali risposte
Non riesco a capire cosa chieda, A è simmetrica, ma vuole che prenda un B matrice simmetrica di A? per poi fare B^2?
Grazie per le eventuali risposte
Risposte
Chiede di trovare una matrice B simmetrica tale che il prodotto scalare di B per B ti dia A. Prova con una matrice generica.
Quindi prendo ad esempio:
$ B=( ( a , -b ),( -b , a ) ) $ $ B=( ( a , -b ),( -b , a ) ) $
Faccio BxB:
$ B^2=( ( a , -b ),( -b , a ) ) xx ( ( a , -b ),( -b , a ) ) $
che viene
$ B^2=( ( a^2+b^2 , -2ab ),( -2ab , a^2+b^2 ) ) $
Adesso cosa faccio?
$ B=( ( a , -b ),( -b , a ) ) $ $ B=( ( a , -b ),( -b , a ) ) $
Faccio BxB:
$ B^2=( ( a , -b ),( -b , a ) ) xx ( ( a , -b ),( -b , a ) ) $
che viene
$ B^2=( ( a^2+b^2 , -2ab ),( -2ab , a^2+b^2 ) ) $
Adesso cosa faccio?
Quella è una matrice simmetrica particolare. Non è necessario che gli elementi sulla diagonale siano uguali. Vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_simmetrica
Da li poi si procede facendo un sistema eguagliando i coefficenti della matrice A e $B^2$
Da li poi si procede facendo un sistema eguagliando i coefficenti della matrice A e $B^2$
quindi potrei prendere
$ ( ( a , b ),( b , 0 ) ) $
$ ( ( a , b ),( b , 0 ) ) $
Quella generica è $((a,b),(b,c))$
Grazie per la risposta!
Quindi faccio:
$ B^2=( ( a^2+b^2 , ab+bc ),( ab+bc , b^2+c^2 ) ) $
Hai detto di prendere i coefficienti delle due matrici e di metterle a sistema:
perciò:
$ { ( 3x-y=0 ),( -x+3y=0 ),( 2x+2y=0 ),( 2x+2y=0 ):} $
Va bene? e trovo la x e la y?
Quindi faccio:
$ B^2=( ( a^2+b^2 , ab+bc ),( ab+bc , b^2+c^2 ) ) $
Hai detto di prendere i coefficienti delle due matrici e di metterle a sistema:
perciò:
$ { ( 3x-y=0 ),( -x+3y=0 ),( 2x+2y=0 ),( 2x+2y=0 ):} $
Va bene? e trovo la x e la y?
Riepiloghiamo:
$A=((3,-1),(-1,3))$
$B=((a,b),(b,c)) => B^2=((a^2+b^2,ab+bc),(ab+bc,b^2+c^2))$
Ora devi imporre che $B^2=A$, ovvero
${\(a^2+ b^2=3),(ab+bc=-1),(b^2+c^2=3):}
Così trovi quanto valgono $a$, $b$ e $c$ e di conseguenza la matrice $B$. Ok?
$A=((3,-1),(-1,3))$
$B=((a,b),(b,c)) => B^2=((a^2+b^2,ab+bc),(ab+bc,b^2+c^2))$
Ora devi imporre che $B^2=A$, ovvero
${\(a^2+ b^2=3),(ab+bc=-1),(b^2+c^2=3):}
Così trovi quanto valgono $a$, $b$ e $c$ e di conseguenza la matrice $B$. Ok?
Ah ok!
Grazie tante, provo a risolverlo!
Grazie tante, provo a risolverlo!
Mi dispiace stressarti ma mi sono già bloccata..
arrivo a questo punto e non capisco come ricavare c : $ { ( 2csqrt(3-c^2)+1=0 ),( a=-1/b-c ),( b=sqrt(3-c^2) ):} $
arrivo a questo punto e non capisco come ricavare c : $ { ( 2csqrt(3-c^2)+1=0 ),( a=-1/b-c ),( b=sqrt(3-c^2) ):} $
Potresti postare i tuoi calcoli? So che è una rottura ma è necessario per una maggior chiarificazione
ma ci mancherebbe altro! Con quanto mi aiuti
$ { ( a^2+b^2=3 ),( a=-1/b-c ),( b^2+c^2=3 ):} $
$ { ( 1/b^2+c^2+2c/b+b^2=3 ),( a=-1/b-c ),( b^2+c^2=3 ):} $
$ { ( (1+b^2c^2+2cb+b^4-3b^2)/b^2=0 ),( a=-1/b-c ),( b^2+c^2=3 ):} $
$ { ( b^4+1+b^2c^2+2cb-3b^2=0 ),( a=-1/b-c ),( b^2+c^2=3 ):} $
$ { ( b^4+1+b^2c^2+2cb-3b^2=0 ),( a=-1/b-c ),( b^2=3-c^2 ):} $
Che si divide in
$ { ( b^4+1+b^2c^2+2cb-3b^2=0 ),( a=-1/b-c ),( b=sqrt(3-c^2) ):} $ e in $ { ( b^4+1+b^2c^2+2cb-3b^2=0 ),( a=-1/b-c ),( b=-sqrt(3-c^2) ):} $
prendo la prima e viene
$ { ( (3-c^2)^2+1+c^2(3-c^2)+2csqrt(3-c^2)-3(3-c^2)=0 ),( a=-1/b-c ),( b=sqrt(3-c^2) ):} $
$ { ( 2csqrt(3-c^2)+1=0 ),( a=-1/b-c ),( b=sqrt(3-c^2) ):} $
$ { ( a^2+b^2=3 ),( a=-1/b-c ),( b^2+c^2=3 ):} $
$ { ( 1/b^2+c^2+2c/b+b^2=3 ),( a=-1/b-c ),( b^2+c^2=3 ):} $
$ { ( (1+b^2c^2+2cb+b^4-3b^2)/b^2=0 ),( a=-1/b-c ),( b^2+c^2=3 ):} $
$ { ( b^4+1+b^2c^2+2cb-3b^2=0 ),( a=-1/b-c ),( b^2+c^2=3 ):} $
$ { ( b^4+1+b^2c^2+2cb-3b^2=0 ),( a=-1/b-c ),( b^2=3-c^2 ):} $
Che si divide in
$ { ( b^4+1+b^2c^2+2cb-3b^2=0 ),( a=-1/b-c ),( b=sqrt(3-c^2) ):} $ e in $ { ( b^4+1+b^2c^2+2cb-3b^2=0 ),( a=-1/b-c ),( b=-sqrt(3-c^2) ):} $
prendo la prima e viene
$ { ( (3-c^2)^2+1+c^2(3-c^2)+2csqrt(3-c^2)-3(3-c^2)=0 ),( a=-1/b-c ),( b=sqrt(3-c^2) ):} $
$ { ( 2csqrt(3-c^2)+1=0 ),( a=-1/b-c ),( b=sqrt(3-c^2) ):} $
Io i calcoli non li ho fatti ma se può essere di aiuto dalla prima e terza eq si ottiene $|a|=|c|$ e poi si possono affrontare i due casi $a=-c$ e $a=c$. Inoltre sostituendo $a=-c$ nella seconda si ottiene un assurdo quindi sarà $a=c$.
Grazie! Ora ci provo! anche se mi sembrano cose assurde per un esame da 6 crediti ad architettura..
Guarda, non credo che hai fatto errori e questo è già molto positivo.
Ritengo però che tu non abbia scelto la strada giusta per la risoluzione del sistema (che non è facilissimo, per niente)
Come dice giustamente matteotass si arriva facilmente a dire che $a^2-c^2=0 => a=c vv a=-c$, ed è meno complicato andare avanti.
In ogni caso, se vuoi procedere con i tuoi calcoli, si tratta di risolvere $2csqrt(3-c^2)=-1$
Prima di tutto, una considerazione: $-sqrt(3)<=c<0$. Altrimenti non ci sono soluzioni.
Infatti, deve accadere che $-sqrt(3)<=c<=sqrt(3)$, altrimenti avremmo la radice di un numero negativo.
Inoltre, se $c$ fosse positivo (o nullo), il primo membro sarà sicuramente positivo (o nullo), e quindi mai pari a $-1$
Detto ciò, si può elevare al quadrato ottenendo l'equazione (di quarto grado](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
) $4c^2(3-c^2)=1$
Effettivamente, è meglio ripartire da zero secondo la strada suggerita da matteotass
Ritengo però che tu non abbia scelto la strada giusta per la risoluzione del sistema (che non è facilissimo, per niente)
Come dice giustamente matteotass si arriva facilmente a dire che $a^2-c^2=0 => a=c vv a=-c$, ed è meno complicato andare avanti.
In ogni caso, se vuoi procedere con i tuoi calcoli, si tratta di risolvere $2csqrt(3-c^2)=-1$
Prima di tutto, una considerazione: $-sqrt(3)<=c<0$. Altrimenti non ci sono soluzioni.
Infatti, deve accadere che $-sqrt(3)<=c<=sqrt(3)$, altrimenti avremmo la radice di un numero negativo.
Inoltre, se $c$ fosse positivo (o nullo), il primo membro sarà sicuramente positivo (o nullo), e quindi mai pari a $-1$
Detto ciò, si può elevare al quadrato ottenendo l'equazione (di quarto grado
) $4c^2(3-c^2)=1$Effettivamente, è meglio ripartire da zero secondo la strada suggerita da matteotass
Premettendo che non ho ben chiaro il passaggio di come $ a^2+c^2=3 $ diventi $ a=c $ mi fido e vado avanti:
Per a=c
$ { ( a=c ),( b=-1/2c ),( c=a ):} $
e per a=-c
$ { ( a=c ),( 0=0 ),( c=a ):} $
Per a=c
$ { ( a=c ),( b=-1/2c ),( c=a ):} $
e per a=-c
$ { ( a=c ),( 0=0 ),( c=a ):} $
$a^2+c^2=3$ non c'è.
Ripartiamo da capo:
${\(a^2+ b^2=3),(b(a+c)=-1),(b^2+c^2=3):}$
Sottraendo la terza equazione dalla terza otteniamo $a^2-c^2=0$, da cui $a=c vv a=-c$
Il sistema si spezza pertanto in due sottosistemi:
${\(a^2+ b^2=3),(b(a+c)=-1),(a=c):} vv {\(a^2+ b^2=3),(b(a+c)=-1),(a=-c):} => {\(a^2+ b^2=3),(b(2a)=-1),(a=c):} vv {\(a^2+ b^2=3),(b*0=-1),(a=-c):}$
Nel secondo sottosistema c'è una equazione impossibile (la seconda), quindi quello va escluso. Continuiamo col primo:
${\(a^2+ b^2=3),(2ab=-1),(a=c):}$
Consiglio di procedere così: vediamo $a^2+b^2$ come $a^2+b^2-2ab+2ab$ ovvero $(a-b)^2+2ab$ che è uguale a $(a-b)^2+1$ perchè $2ab=-1$
Il sistema diventa ${\((a-b)^2+1=3),(2ab=-1),(a=c):} => {\((a-b)^2=4),(2ab=-1),(a=c):}$
Ripartiamo da capo:
${\(a^2+ b^2=3),(b(a+c)=-1),(b^2+c^2=3):}$
Sottraendo la terza equazione dalla terza otteniamo $a^2-c^2=0$, da cui $a=c vv a=-c$
Il sistema si spezza pertanto in due sottosistemi:
${\(a^2+ b^2=3),(b(a+c)=-1),(a=c):} vv {\(a^2+ b^2=3),(b(a+c)=-1),(a=-c):} => {\(a^2+ b^2=3),(b(2a)=-1),(a=c):} vv {\(a^2+ b^2=3),(b*0=-1),(a=-c):}$
Nel secondo sottosistema c'è una equazione impossibile (la seconda), quindi quello va escluso. Continuiamo col primo:
${\(a^2+ b^2=3),(2ab=-1),(a=c):}$
Consiglio di procedere così: vediamo $a^2+b^2$ come $a^2+b^2-2ab+2ab$ ovvero $(a-b)^2+2ab$ che è uguale a $(a-b)^2+1$ perchè $2ab=-1$
Il sistema diventa ${\((a-b)^2+1=3),(2ab=-1),(a=c):} => {\((a-b)^2=4),(2ab=-1),(a=c):}$
Proseguendo con i calcoli viene... io ho analizato $|a-b|=2$ e dividento in due casi ho considerato $a-b=2$ poi risolvendo con l' altra equazione ho trovato la soluzione $a=(-2+sqrt(2))/2$ e $b=(2+sqrt(2))/2$.
Gli altri casi non li ho verificati.
Gli altri casi non li ho verificati.
Capito i passaggi! 
Una volta che ho trovato i risultati cosa ci faccio?
Una volta che ho trovato i risultati cosa ci faccio?
Direi di usarli per scrivere la matrice $B$ . Ti rinfresco la memoria 
"Cittino":
Sia $A= ( ( 3 , -1 ),( -1 , 3 ) ) $
Discutere di una matrice simmetrica $B$ tale che $B^2=A$, in caso esista determinarla e determinare gli autovalori.
Oddio questo ti fa capire quanto sono incasinata!! Comunque grazie per le risposte, non sarei mai riuscita a farlo da sola però almeno ho capito!!
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