Matrici
sia $G$ il gruppo $SL(n,R)$ munito della topologia indotta dallo spazio vettoriale delle matrici, $K \subset G$ il sottogruppo compatto $SO(n,R)$ e sia $X=G/K$ con la topologia quoziente. Dimostrare che se $\Gamma$ è un sottogruppo discreto di $G$ allora agisce in modo discontinuo su $X$ (cioè dati $M,L$ compatti in $X$ allora $\gamma(M)\cup L \ne \emptyset$ per un numero finito di $\gamma \in \Gamma$). (NOTA: questo è vero per qualunque sottogruppo compatto $K$ di un gruppo topologico $G$ con qualche minima ipotesi, tipo di Hausdorff)
Risposte
non è che hai sbagliato qualcosa nella definizione di "azione non continua"?... che so unione con intersezione?
inoltre ti volevo chiedere cosa intendi per "sottogruppo discreto", forse che nessun punto di G è di accumulazione per il sottogruppo, oppure che nessun punto del sottogruppo è di accumulazione per il sottogruppo? oppure è roba di cardinalità?
inoltre ti volevo chiedere cosa intendi per "sottogruppo discreto", forse che nessun punto di G è di accumulazione per il sottogruppo, oppure che nessun punto del sottogruppo è di accumulazione per il sottogruppo? oppure è roba di cardinalità?
si è intersezione scusami..per discreto si intende che sia numerabile tale che non abbia punti di accumulazione per il gruppo
stavo riguardando ieri questo esercizio... quando ho tempo libero (ok non ce l'ho dovrei fare altro ma sono in vacanza!) ripenso alle cose a cui mi sarebbe piaciuto dedicare un po di tempo... Però ho quale domanda:
- cosa è $G/K$? cioè rispetto a quale relazione di equivalenza faccio il quoziente? all'inizio pensavo: $x \sim y$ <=> $x=y$ oppure $x in K$ $y in K$, ma visto che poi si definisce l'azione del sottogruppo su $X$ (immagino si intenda il coniugio) questo farebbe pensare alle classi di equivalenza del gruppo quoziente....
però se parliamo di gruppo quoziente, SO dovrebbe essere normale in SL, cosa che mi sembra falsa (in dimensione due una matrice ortogonale dovrebbe rispettare l'ortogonalità delle colonne, ed è facile romperla per coniugio mi sembra con una matrice che deve solo avere determinante 1, anche se ovviamente queste sono solo prime impressioni)...
qualcuno mi chiarisce un po i parametri della questione?
- cosa è $G/K$? cioè rispetto a quale relazione di equivalenza faccio il quoziente? all'inizio pensavo: $x \sim y$ <=> $x=y$ oppure $x in K$ $y in K$, ma visto che poi si definisce l'azione del sottogruppo su $X$ (immagino si intenda il coniugio) questo farebbe pensare alle classi di equivalenza del gruppo quoziente....
però se parliamo di gruppo quoziente, SO dovrebbe essere normale in SL, cosa che mi sembra falsa (in dimensione due una matrice ortogonale dovrebbe rispettare l'ortogonalità delle colonne, ed è facile romperla per coniugio mi sembra con una matrice che deve solo avere determinante 1, anche se ovviamente queste sono solo prime impressioni)...
qualcuno mi chiarisce un po i parametri della questione?
la relazione è quella solita per i gruppi: dati $g$ e $h\inG$ $gK$ è equivalente a $hK$ se e solo se $gK=hK$ se e solo se $h^{-1}g\in K$
"alberto86":
la relazione è quella solita per i gruppi: dati $g$ e $h\inG$ $gK$ è equivalente a $hK$ se e solo se $gK=hK$ se e solo se $h^{-1}g\in K$
ho capito..... quindi in sostanza dividi in classi laterali (sinistre credo).... il sottogruppo quindi agisce per coniugio, giusto? ovvero preso $\gamma$ ed una classa $gK$, $\gamma(gK)=\gamma g \gamma^(-1) K$. Però questa azione sono molto portato a pensare (visto che di solito in queste faccende mi pare funzi così) che sia ben definita (ovvero non dipenda dal rappresentante della classe laterale) solo se SO è normale in SL, cosa che mi pare non vera...
mi puoi dire se:
1) è giusta l'azione di gruppo considerata?
2) è vero che SO non è normale in SL come mi sembra? (se hai proposto l'esercizio lo saprai per questo te lo chiedo)
3) se la risposta al punto due fosse affermativa, come può essere l'azione di gruppo ben definita?
e grazie per la pronta risposta a questa mia riesumazione di topic!
no il gruppo agisce per moltiplicazione a sinistra..inoltre non è normale basta che prendi la mastrice di $SO(2)$ $1,0 ; -1,0$ (te le do per righe) e la matrice di $SL(2)$ $1,1 ; 0,1$ per avere un controesempio
infatti mi sembrava che la cosa non tornasse con l'azione di coniugio data la non normalità...
ok con quell'azione non serve la normalità per avere una buona definizione!
ora il problema sembra avere acquistato un senso ben definito... cercherò di raccapezzarmi con la destra e la sinistra ed a presto per un qualche tentativo di soluzione!....
ok con quell'azione non serve la normalità per avere una buona definizione!
ora il problema sembra avere acquistato un senso ben definito... cercherò di raccapezzarmi con la destra e la sinistra ed a presto per un qualche tentativo di soluzione!....
Allora alberto86... ci ho riflettuto un pò prima di Natale... passato il cenone, dico le castronerie che ho pensato... stavolta c'è da divertirsi sulle mia cavolate! Credo di averne sparate delle belle!!!!:-D ... Ho lasciato parecchie cose "buttate là" cercando di far capire l'ossatura e le idee che avevo più che cercando la chiarezza formale (che in realtà mi richiederebbe più stesure)...
BACKGROUND. Prendiamo quindi l'azione di moltiplicazione a sinistra del sottogruppo in SL, definita dal fatto che la matrice $A$ applicata alla matrice $B$ darà $A(B)=AB$. Le classi rispetto a cui costruiamo la topologia quoziente sono le classi laterali sinistre $aK$: l'azione del gruppo in questo modo "passa" al quoziente.
OSSERVAZIONI:
supponiamo falsa la tesi e che quindi esista un compatto $M$ t.c. $\gamma_n(M)$ intersechi un altro compatto $N$ per infiniti $n$. Questi vuol dire che esistono infiniti punti di $M$, ovvero classi $M_nK$ t.c. le immagini $\gamma_n(M_nK)=\gamma_nM_nK$ stiano in $N$. Ora (mi pare basti sapere che lo spazio quoziente ha base numerabile per usare la compattezza per successioni, o ricordo male?chiedo conferme!) dalla successione $M_n$ estraggo una sottosuccessione convergente ad un elemento $M$. Le immagini della sottosuccessione stanno nel compatto $N$. Estraendo ancora posso trovare una successione di classi $M_n$ che convergono ad $M$ le cui immagini convergono ad un elemento $N$.
Inoltre se questa situazione si verifica, ovvero è possibile trovare una tal successione, posso trovare dei compatti $M$ ed $N$ che verificano le ipotesi, sempre che esista un compatto che contenga $M$ ed uno che contenga $N$ e che questi compatti contengano un intorno di $M$ ed uno di $N$, ma lo diamo per assodato, non sembra una ipotesi assurda!.
Quindi questi ragionamenti portano a riscrivere la tesi come:
Se esiste una successione $M_nK$ convergente ad $M K$ t.c. $\gamma_nM_n K$ converga ad $N K$, allora il sottogruppo non è discreto.
LEMMA PRELIMINARE (1):
Supponiamo che $M_n$ tenda ad $M$ in norma e che esistano degli elementi distinti del sottogruppo $\gamma_n$ t.c. $\gamma_nM_n$ tenda ad un elemento $N$ sempre in norma. Allora il sottogruppo non è discreto.
dim: se fosse sup $_n ||\gamma_n||
commenti:
- la dimostrazione la rimando a quando alberto86 mi commenterà quanto scritto, cmq non dovrebbe essere problematica;
- mi accorgo solo ora che forse però che ho frainteso la nozione di gruppo non discreto, non è che si vorrebbe quel punto di accumulazione appartenente al sottogruppo?mmm....... per ora lo lascio così...
------------------------
Se invece avessimo che quel sup è infinito, allora potremmo prendere una sottosuccessione di modo che $||\gamma_n||$ tenda ad infinito. In tal caso però avremo che $||M_n^(-1)||$ tende ad infinito, come si proverà a vedere, il che è una contraddizione perchè la successione dovrebbe invece convergere ad $||M^(-1)||$.
Per ipotesi esistono dei punti $x_n$ t.c. $(||\gamma_nM_nx_n||)/(||M_nx_n||)$ tende ad infinito, questo per invertibilità delle $M_n$ e definizione di norma operatoriale. Possiamo allora scrivere:
$||N||>=(||Nx_n||)/(||x_n||) \sim (||\gamma_nM_nx_n||)/(||x_n||)=(||\gamma_nM_nx_n||)/(||M_nx_n||)*(||M_nx_n||)/(||x_n||) > G min |\mu_n|$
dove $\mu_n$ sono gli autovalori della matrice $M_n$ (supponendo di diagonalizzare in C). Visto che $G$ scoppia, si deve poter estrarre una sottosuccessione t.c. i minimi autovalori siano decrescenti e tendano a zero. Ma allora, visto che gli autovalori della matrice opposta sono gli inversi, le norme delle matricii $M_n^(-1)$ tenderanno a più infinito.
commenti:
- non sono sicuro di questo giochino da $R$ a $C$, magari le norme delle matrici non si possono trattare così, diciamo ch la dimostrazione l'ho fatto in $C$ e spero si aggiusti ad $R$, ok?;
- ho un pò barato mettendo il simbolo $\sim$, ma non ho voglia di stare a guardare troppo bene gli espilon, quel $\sim$ è giustificato dal fatto che $\gamma_nM_n$ tende in norma ad $N$;
LEMMA PRELIMINARE (2):
Se abbiamo che $M_n K$ tende a $M K$ nella topologia quoziente, allora (a meno di estrarre sottosuccessioni) esistono matrici $F_n$ appartenenti a $K$ t.c. $M_nF_n$ tenda a $M$ in norma.
dim: gli intorni nuovi nell'insieme quoziente sono fatti da aperti che siano unione di classi di coniugio. Prendiamo un aperto vecchio (una palla di raggio $\epsilon$ contenente $M$ e costruiamo tutte le classi di coniugo di questi elementi. Questo naturalmente è anche un aperto nuovo ed un intorno della classe $MK$. Inoltre per ogni elemento di queste classi per costruzione esiste un rappresentante che dista meno di $\epsilon$ in norma da $M$. Inoltre definitivamente la successione $M_n K$ sta qui dentro e quindi possiamo trovare l'elemento vicino voluto! Possiamo fare questo per ogni palla di raggio $\epsilon$ sempre più piccolo, trovando la successione voluta.
PROBLEMA:
Usando la osservazione ed il lemma due, trovo degli elementi $M_n$ che tendono ad $M$ in norma t.c. $\gamma_nM_nF_n$ tenda sempre in norma ad $N$.
A questo punto usando che $||F_n||=1$, con ragionamento simili al lemma 2 (che nel caso posso rifare sinceramente a questo punto sono un pò stanco ), vedo che $\gamma_nF_n$ deve convergere. Visto che le $F_n$ appartengono ad un compatto, posso estrarre una sottosuccessione t.c. le $F_n$ convergano, ed a questo punto sempre con il lemma due si ha il sottogruppo non discreto. Contraddizione.
Qanto c'è di buono in tutto ciò?
BACKGROUND. Prendiamo quindi l'azione di moltiplicazione a sinistra del sottogruppo in SL, definita dal fatto che la matrice $A$ applicata alla matrice $B$ darà $A(B)=AB$. Le classi rispetto a cui costruiamo la topologia quoziente sono le classi laterali sinistre $aK$: l'azione del gruppo in questo modo "passa" al quoziente.
OSSERVAZIONI:
supponiamo falsa la tesi e che quindi esista un compatto $M$ t.c. $\gamma_n(M)$ intersechi un altro compatto $N$ per infiniti $n$. Questi vuol dire che esistono infiniti punti di $M$, ovvero classi $M_nK$ t.c. le immagini $\gamma_n(M_nK)=\gamma_nM_nK$ stiano in $N$. Ora (mi pare basti sapere che lo spazio quoziente ha base numerabile per usare la compattezza per successioni, o ricordo male?chiedo conferme!) dalla successione $M_n$ estraggo una sottosuccessione convergente ad un elemento $M$. Le immagini della sottosuccessione stanno nel compatto $N$. Estraendo ancora posso trovare una successione di classi $M_n$ che convergono ad $M$ le cui immagini convergono ad un elemento $N$.
Inoltre se questa situazione si verifica, ovvero è possibile trovare una tal successione, posso trovare dei compatti $M$ ed $N$ che verificano le ipotesi, sempre che esista un compatto che contenga $M$ ed uno che contenga $N$ e che questi compatti contengano un intorno di $M$ ed uno di $N$, ma lo diamo per assodato, non sembra una ipotesi assurda!.
Quindi questi ragionamenti portano a riscrivere la tesi come:
Se esiste una successione $M_nK$ convergente ad $M K$ t.c. $\gamma_nM_n K$ converga ad $N K$, allora il sottogruppo non è discreto.
LEMMA PRELIMINARE (1):
Supponiamo che $M_n$ tenda ad $M$ in norma e che esistano degli elementi distinti del sottogruppo $\gamma_n$ t.c. $\gamma_nM_n$ tenda ad un elemento $N$ sempre in norma. Allora il sottogruppo non è discreto.
dim: se fosse sup $_n ||\gamma_n||
commenti:
- la dimostrazione la rimando a quando alberto86 mi commenterà quanto scritto, cmq non dovrebbe essere problematica;
- mi accorgo solo ora che forse però che ho frainteso la nozione di gruppo non discreto, non è che si vorrebbe quel punto di accumulazione appartenente al sottogruppo?mmm....... per ora lo lascio così...
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Se invece avessimo che quel sup è infinito, allora potremmo prendere una sottosuccessione di modo che $||\gamma_n||$ tenda ad infinito. In tal caso però avremo che $||M_n^(-1)||$ tende ad infinito, come si proverà a vedere, il che è una contraddizione perchè la successione dovrebbe invece convergere ad $||M^(-1)||$.
Per ipotesi esistono dei punti $x_n$ t.c. $(||\gamma_nM_nx_n||)/(||M_nx_n||)$ tende ad infinito, questo per invertibilità delle $M_n$ e definizione di norma operatoriale. Possiamo allora scrivere:
$||N||>=(||Nx_n||)/(||x_n||) \sim (||\gamma_nM_nx_n||)/(||x_n||)=(||\gamma_nM_nx_n||)/(||M_nx_n||)*(||M_nx_n||)/(||x_n||) > G min |\mu_n|$
dove $\mu_n$ sono gli autovalori della matrice $M_n$ (supponendo di diagonalizzare in C). Visto che $G$ scoppia, si deve poter estrarre una sottosuccessione t.c. i minimi autovalori siano decrescenti e tendano a zero. Ma allora, visto che gli autovalori della matrice opposta sono gli inversi, le norme delle matricii $M_n^(-1)$ tenderanno a più infinito.
commenti:
- non sono sicuro di questo giochino da $R$ a $C$, magari le norme delle matrici non si possono trattare così, diciamo ch la dimostrazione l'ho fatto in $C$ e spero si aggiusti ad $R$, ok?;
- ho un pò barato mettendo il simbolo $\sim$, ma non ho voglia di stare a guardare troppo bene gli espilon, quel $\sim$ è giustificato dal fatto che $\gamma_nM_n$ tende in norma ad $N$;
LEMMA PRELIMINARE (2):
Se abbiamo che $M_n K$ tende a $M K$ nella topologia quoziente, allora (a meno di estrarre sottosuccessioni) esistono matrici $F_n$ appartenenti a $K$ t.c. $M_nF_n$ tenda a $M$ in norma.
dim: gli intorni nuovi nell'insieme quoziente sono fatti da aperti che siano unione di classi di coniugio. Prendiamo un aperto vecchio (una palla di raggio $\epsilon$ contenente $M$ e costruiamo tutte le classi di coniugo di questi elementi. Questo naturalmente è anche un aperto nuovo ed un intorno della classe $MK$. Inoltre per ogni elemento di queste classi per costruzione esiste un rappresentante che dista meno di $\epsilon$ in norma da $M$. Inoltre definitivamente la successione $M_n K$ sta qui dentro e quindi possiamo trovare l'elemento vicino voluto! Possiamo fare questo per ogni palla di raggio $\epsilon$ sempre più piccolo, trovando la successione voluta.
PROBLEMA:
Usando la osservazione ed il lemma due, trovo degli elementi $M_n$ che tendono ad $M$ in norma t.c. $\gamma_nM_nF_n$ tenda sempre in norma ad $N$.
A questo punto usando che $||F_n||=1$, con ragionamento simili al lemma 2 (che nel caso posso rifare sinceramente a questo punto sono un pò stanco
), vedo che $\gamma_nF_n$ deve convergere. Visto che le $F_n$ appartengono ad un compatto, posso estrarre una sottosuccessione t.c. le $F_n$ convergano, ed a questo punto sempre con il lemma due si ha il sottogruppo non discreto. Contraddizione.Qanto c'è di buono in tutto ciò?
alberto86... so che sarai occupato (anche io lo sono) ma, indipendentemente se quel che scrissi tempo fa era corretto o meno, se era la via più breve o meno, potresti dirmi che quando hai tempo (magari anche a Febbraio dopo eventuali esami) ci dai un'occhiata e mi mandi qualche commento?
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