Matrici!!!!!!!
AIUTATEMI!!!!Ho l'esame di matematica giovedì e ripassando il tutto mi sono accorta di non saper fare le matrici 3x4!!! Una del genere mi è capitata anche all'esame della volta scorsa (che non ho superato) e ovviamente l'ho sbagliata! Cercavo qualcuno che mi aiutasse e possibilmente mi spiegasse tutti i passaggi!!!!Vi ringrazio in anticipo!!!!
Discutere, al variare del parametro reale h, il rango della matrice: $((1,4,-1,1),(h,0,1,1),(1,(1+h),0,(h+1)))$
Discutere, al variare del parametro reale h, il rango della matrice: $((1,4,-1,1),(h,0,1,1),(1,(1+h),0,(h+1)))$
Risposte
Che metodi puoi usare per calcolare il rango? Come ti è stato definito?
Qui ad esempio dovrebbe funzionare bene il teorema degli orlati ma non so se lo puoi usare.
Qui ad esempio dovrebbe funzionare bene il teorema degli orlati ma non so se lo puoi usare.
Io per quello che so devo togliere una colonna e trasformare così la matrice in una 3x3! A questo punto mi trovo il determinante e poi però non so più come devo proseguire!!!???
Provo a darti la ricetta pratica, spero di essere chiaro.
Quando hai una matrice n x m il rango è un numero tra 0 e il numero più piccolo tra n e m.
Nel tuo caso il rango sarà 0,1,2 o 3.
0 non può essere perchè solo la matrice con tutti 0 ha rango 0.
Restano 1,2,3.
Puoi considerare il rango come il numero massimo di colonne (o di righe) linearmente indipendenti (se sai cosa vuol dire).
Vediamo se per caso ci sono 3 colonne indipendenti.
1)Trascuriamo la 4° colonna e calcoliamo il determinante della matrice formata dalle prime 3 colonne.
Il determinante è $4-h(1+h)-(1+h)=4-h-h^2-1-h=-h^2-2h+3$.
E' un numero dipendente da h. Se questo determinante è diverso da 0 allora la matrice ha rango 3.
Quindi ci conviene vedere quando è uguale a 0.
$-h^2-2h+3=0$
$h^2+2h-3=0$
E' un'equazione di secondo grado di incognita h. Dovresti saperla risolvere.
Le soluzioni sono h=-3 e h=1. Cioè se al posto di h nella matrice scrivessi uno di questi valori il determinante di sopra fa 0.
2)Ma: ora buttiamo via la 3° colonna e mettiamo al suo posto la 4°. Sostituisci ad h i due valori "critici" trovati.
Se non ho sbagliato i conti per questi valori ottieni 2 matrici 3x3 che hanno entrambe determinante diverso da 0.
Quindi anche per questi valori il rango è 3.
Risultato la matrice ha sempre rango 3.
In generale, se al passo 2) avessi trovato che anche la seconda matrice (quella con le colonne 1,2,4) aveva determinante nullo per quei due valori la matrice non poteva avere rango 3, bensì inferiore.
In tal caso consideri la matrice A dove ad h sostituisci i 2 valori. E provi a vedere se ha rango 2. Come? Facendo la stessa storia con i determinanti 2 x 2.
Se per caso andasse male, devi riferirti ai determinanti 1 x 1 cioè ai singoli elementi. Entro questo passo ti dovrai fermare.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
Quando hai una matrice n x m il rango è un numero tra 0 e il numero più piccolo tra n e m.
Nel tuo caso il rango sarà 0,1,2 o 3.
0 non può essere perchè solo la matrice con tutti 0 ha rango 0.
Restano 1,2,3.
Puoi considerare il rango come il numero massimo di colonne (o di righe) linearmente indipendenti (se sai cosa vuol dire).
Vediamo se per caso ci sono 3 colonne indipendenti.
1)Trascuriamo la 4° colonna e calcoliamo il determinante della matrice formata dalle prime 3 colonne.
Il determinante è $4-h(1+h)-(1+h)=4-h-h^2-1-h=-h^2-2h+3$.
E' un numero dipendente da h. Se questo determinante è diverso da 0 allora la matrice ha rango 3.
Quindi ci conviene vedere quando è uguale a 0.
$-h^2-2h+3=0$
$h^2+2h-3=0$
E' un'equazione di secondo grado di incognita h. Dovresti saperla risolvere.
Le soluzioni sono h=-3 e h=1. Cioè se al posto di h nella matrice scrivessi uno di questi valori il determinante di sopra fa 0.
2)Ma: ora buttiamo via la 3° colonna e mettiamo al suo posto la 4°. Sostituisci ad h i due valori "critici" trovati.
Se non ho sbagliato i conti per questi valori ottieni 2 matrici 3x3 che hanno entrambe determinante diverso da 0.
Quindi anche per questi valori il rango è 3.
Risultato la matrice ha sempre rango 3.
In generale, se al passo 2) avessi trovato che anche la seconda matrice (quella con le colonne 1,2,4) aveva determinante nullo per quei due valori la matrice non poteva avere rango 3, bensì inferiore.
In tal caso consideri la matrice A dove ad h sostituisci i 2 valori. E provi a vedere se ha rango 2. Come? Facendo la stessa storia con i determinanti 2 x 2.
Se per caso andasse male, devi riferirti ai determinanti 1 x 1 cioè ai singoli elementi. Entro questo passo ti dovrai fermare.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
...ho applicato come hai detto tu la formula risolutiva ad $h^2+2h+3$ ma mi viene questo: $(-2+-sqrt(4-12))/2$
non devo calcolare anche i valori di h della matrice (1,2,4)? sicuramente saranno valori diversi delle h trovate nella matrice (1,2,3)
poi sostituisco i valori trovati nella matrice (1,2,4) nella matrice (1,2,3) e faccio lo stesso ragionamento che mi hai detto?secondo te è inutile fare questo ulteriore passaggio??
poi sostituisco i valori trovati nella matrice (1,2,4) nella matrice (1,2,3) e faccio lo stesso ragionamento che mi hai detto?secondo te è inutile fare questo ulteriore passaggio??
"ChiaraM.":
...ho applicato come hai detto tu la formula risolutiva ad $h^2+2h+3$ ma mi viene questo: $(-2+-sqrt(4-12))/2$
controlla il segno del termine noto
$h^2+2h-3$
"ChiaraM.":
non devo calcolare anche i valori di h della matrice (1,2,4)? sicuramente saranno valori diversi delle h trovate nella matrice (1,2,3)
poi sostituisco i valori trovati nella matrice (1,2,4) nella matrice (1,2,3) e faccio lo stesso ragionamento che mi hai detto?secondo te è inutile fare questo ulteriore passaggio??
riprendo da quello che ti ha scritto Megan00b. dando per buoni i calcoli che ti portano ad ottenere h=-3 e h=1, sei arrivata al punto di fare una semplice parziale conclusione: se h è diverso sia da -3 sia da 1 (cioè assume uno degli infiniti valori reali diversi da questi due numeri), allora il rango della matrice è 3, perché "quella sottomatrice (minore)" (prime tre colonne?...) ha determinante diverso da zero.
solo se h=-3 oppure h=1 si pone il problema: se trovi un'altra sottomatrice che ha determinante diverso da zero per h=-3 (rispettivamente per h=1) allora la matrice ha rango tre anche per h=-3 (risp. h=1)..........
basterebbe trovare (forse, dipende da quel che ottieni) il determinante che dici tu in funzione di h: se si annulla per valori di h diversi dai precedenti (o non si annulla mai), allora anche in questo caso si può dire che la matrice ha rango tre.
se, al contrario, dopo aver esaurito tutti i tentativi (tutte le sottomatrici hanno determinante nullo per h=-3 o per h=1), vuol dire che per quel valore (anche entrambi) il rango della matrice è minore di tre. solo in tal caso non è difficile dire che il rango è due (perché c'è una sottomatrice semplice semplice, senza h, che ha determinante -2, quindi diverso da zero).
spero di essere stata chiara.
prova a fare qualche altro calcolo e facci sapere.
ciao.
solo se h=-3 oppure h=1 si pone il problema: se trovi un'altra sottomatrice che ha determinante diverso da zero per h=-3 (rispettivamente per h=1) allora la matrice ha rango tre anche per h=-3 (risp. h=1)..........
basterebbe trovare (forse, dipende da quel che ottieni) il determinante che dici tu in funzione di h: se si annulla per valori di h diversi dai precedenti (o non si annulla mai), allora anche in questo caso si può dire che la matrice ha rango tre.
se, al contrario, dopo aver esaurito tutti i tentativi (tutte le sottomatrici hanno determinante nullo per h=-3 o per h=1), vuol dire che per quel valore (anche entrambi) il rango della matrice è minore di tre. solo in tal caso non è difficile dire che il rango è due (perché c'è una sottomatrice semplice semplice, senza h, che ha determinante -2, quindi diverso da zero).
spero di essere stata chiara.
prova a fare qualche altro calcolo e facci sapere.
ciao.
Vediamo se ho capito....Io ho una matrice 3x4! Per calcolarmi il determinante tolgo la quarta colonna così ottengo una matrice 3x3. Il mio determinante a questo punto è $-h^2-2h+3$ che cambiato di segno sarà $h^2+2h-3$; quindi per $h!=1nnh!=-3$ il rango della matrice sarà $3$ ora questi valori (ovvero $h=1; h=-3$) devo sostituirli nella matrice base? ovvera la 3x4? oppure in quella 3x3 senza la quarta colonna? E poi non ho capito bene il passaggio quando mi si dice di buttare la via la 3° colonna e al suo posto mettiamo la 4° ma questo procedimento si usa per tutte le matrici 3x4??' Grazie 1000 per le vostre risposte!!
Ciao a tutti!
Non capisco cosa vuoi dire.
Che determinante? Il determinante di una matrice 3x4 ? Il determinante è definito solo per le matrici quadrate.
Provo a dire la mia. Mi scuso se ripeterò qualcosa già detto.
L'idea base è studiare le sottomatrici, ricordando che: se una sottomatrice $A$ della matrice $M$ ha rango $k$ allora $M$ ha rango $ge k$. (*)
(ricordo che una sottomatrice di una matrice $M$ è una matrice ottenuta da $M$ togliendo alcune righe e/o alcune colonne).
Supponiamo che le prime tre colonne siano indipendenti (ovvero $h^2+2h-3 ne 0$). Allora la matrice ha per forza rango 3, perché la sottomatrice data dalle prime tre colonne ha rango 3 e la matrice 3x4 non può avere rango maggiore di 3 [vedi (*)]. (NOTA BENE: abbiamo appena dimostrato che se $h$ non è radice di $h^2+2h-3$ allora il rango è 3).
Supponiamo che le prime tre colonne siano dipendenti (ovvero $h^2+2h-3=0$). Allora ci sono due casi:
$h=1$. In tal caso la matrice è $((1,4,-1,1),(1,0,1,1),(1,2,0,2))$. Siccome le ultime tre colonne di tale matrice sono indipendenti, tale matrice ha rango 3.
$h=-3$. In tal caso la matrice è $((1,4,-1,1),(-3,0,1,1),(1,-2,0,-2))$. Siccome le ultime tre colonne di tale matrice sono indipendenti, tale matrice ha rango 3.
Conseguenza: la matrice data ha rango 3 per ogni valore di $h$.
Io ho una matrice 3x4! Per calcolarmi il determinante tolgo la quarta colonna così ottengo una matrice 3x3.
Non capisco cosa vuoi dire.
Che determinante? Il determinante di una matrice 3x4 ? Il determinante è definito solo per le matrici quadrate.
Provo a dire la mia. Mi scuso se ripeterò qualcosa già detto.
"ChiaraM.":
$((1,4,-1,1),(h,0,1,1),(1,(1+h),0,(h+1)))$
L'idea base è studiare le sottomatrici, ricordando che: se una sottomatrice $A$ della matrice $M$ ha rango $k$ allora $M$ ha rango $ge k$. (*)
(ricordo che una sottomatrice di una matrice $M$ è una matrice ottenuta da $M$ togliendo alcune righe e/o alcune colonne).
Supponiamo che le prime tre colonne siano indipendenti (ovvero $h^2+2h-3 ne 0$). Allora la matrice ha per forza rango 3, perché la sottomatrice data dalle prime tre colonne ha rango 3 e la matrice 3x4 non può avere rango maggiore di 3 [vedi (*)]. (NOTA BENE: abbiamo appena dimostrato che se $h$ non è radice di $h^2+2h-3$ allora il rango è 3).
Supponiamo che le prime tre colonne siano dipendenti (ovvero $h^2+2h-3=0$). Allora ci sono due casi:
$h=1$. In tal caso la matrice è $((1,4,-1,1),(1,0,1,1),(1,2,0,2))$. Siccome le ultime tre colonne di tale matrice sono indipendenti, tale matrice ha rango 3.
$h=-3$. In tal caso la matrice è $((1,4,-1,1),(-3,0,1,1),(1,-2,0,-2))$. Siccome le ultime tre colonne di tale matrice sono indipendenti, tale matrice ha rango 3.
Conseguenza: la matrice data ha rango 3 per ogni valore di $h$.
@ ChiaraM.
ora ti ha risposto in maniera riepilogativa Martino. dovrebbe essere chiaro almeno un modo di procedere.
quanto alle tue domande specifiche, è indifferente se riscrivi tutta la matrice 3x4 o un'altra qualsiasi sottomatrice quadrata 3x3 sostituendo h=1 o h=-3. devi riuscire a verificare se esiste almeno un minore di ordine 3 diverso da zero.
potresti anche trovare il determinante delle ultime tre colonne lasciando h. presumibilmente dovresti trovare valori di h diversi da 1 e da -3 (perché Martino ti ha detto che le ultime tre colonne sono linearmente indipendenti in entrambe le matrici che ha scritto sostituendo 1 o -3 al posto di h). anche questo risultato ti direbbe che il rango della matrice originaria 3x4 è tre.
ciao.
ora ti ha risposto in maniera riepilogativa Martino. dovrebbe essere chiaro almeno un modo di procedere.
quanto alle tue domande specifiche, è indifferente se riscrivi tutta la matrice 3x4 o un'altra qualsiasi sottomatrice quadrata 3x3 sostituendo h=1 o h=-3. devi riuscire a verificare se esiste almeno un minore di ordine 3 diverso da zero.
potresti anche trovare il determinante delle ultime tre colonne lasciando h. presumibilmente dovresti trovare valori di h diversi da 1 e da -3 (perché Martino ti ha detto che le ultime tre colonne sono linearmente indipendenti in entrambe le matrici che ha scritto sostituendo 1 o -3 al posto di h). anche questo risultato ti direbbe che il rango della matrice originaria 3x4 è tre.
ciao.
... nel frattempo ha scritto anche Sergio ...
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