Matrici

[delca85]

Ho una matrice invertibile ma non diagonalizzabile $A$ di cui ho i valori,come faccio a trovare due matrici invertibili $P,Q$,tali che $I_3=PAQ$?
Dico che non è diagonalizzabile perchè se lo fosse avrebbe autovalore 1 di molteplicità 3 ma così non è.So che $|A|=-1$.
Arrivo logicamente a dire che $|P|=-1/|Q|$ ma non so altro.
Grazie mille!
P.s.Altra domanda:
sia $ainRR$ e sia $f:RR^3rarrRR^3$ l'applicazione lineare definita da $f(x,y,z)=(x-y+z,-x+3y+z,-x+y-z)$.
E' giusto dire che $f^-1(1,-1,-1)=(1,0,0)+ker(f)$?
Non lo spazio vettoriale generato da $(1,0,0)$ ma proprio solo il vettore più il nucleo dell'applicazione.
Per piacere aiutatemi,domani ho l'esame di algebra lineare!!!!

[franced]

"delca85":Ho una matrice invertibile ma non diagonalizzabile $A$ di cui ho i valori,come faccio a trovare due matrici invertibili $P,Q$,tali che $I_3=PAQ$?

Semplicissimo:

scegli come vuoi una matrice invertibile $P$, la moltiplichi per $A$ ed ottieni $PA$;
per trovare $Q$ basta che tu risolva il sistema $(PA) cdot Q = I_3$.

Sono tre sistemi $3 times 3$, trovi tutti i coefficienti di $Q$.

In ogni caso, se preferisci, c'è anche la forma: $Q = (PA)^(-1) = A^(-1) P^(-1)$.

[delca85]

Ok!Grazie mille,pensavo di dover sapere qualche metodo ancora più veloce,Della seconda domanda che mi dici?
Grazie ancora

[delca85]

Già che ci sono esagero e vi chiedo se è vero che se,essendo $A,B inM_n(RR)$ e $AB=BA$ e $A^2=B^2$ allora $A=+-B$?
Please rispondetemi!!

[miuemia]

Già che ci sono esagero e vi chiedo se è vero che se,essendo A,B∈Mn(ℝ) e AB=BA e $A^2=B^2$ allora A=±B?
Please rispondetemi!!

SI::::
in quanto
$A^2=B^2$ allora $A^2-B^2=0$ ma poichè $AB=BA$ allora hai che $(A-B)(A+B)=A^2+AB-BA-B^2=0$ e allora segue la tesi

[delca85]

Ma non potrebbe essere che $(A+B)$ e $(A-B)$ siano zero divisori?Qualcuno sa rispondermi alla domanda sulla controimmagine?
Grazie!

[delca85]

Allora ragazzi?scusate l'insistenza...