Matrici
ciao,
(algoritmo di Gauss) se si effettuano operazini elementari sulle righe di una matrice orlata (cioè di un sistema lineare) si ottiene "un sistema" equivalente al precedente.
ma per effettuare "operazioni elementari" invece sulle colonne di una matrice orlata bisogna prima fare la trasposta della stessa e poi effettuare tali operazioni?
GRAZIE.....
(algoritmo di Gauss) se si effettuano operazini elementari sulle righe di una matrice orlata (cioè di un sistema lineare) si ottiene "un sistema" equivalente al precedente.
ma per effettuare "operazioni elementari" invece sulle colonne di una matrice orlata bisogna prima fare la trasposta della stessa e poi effettuare tali operazioni?
GRAZIE.....
Risposte
No, non è necessario passare per la trasposta.
Infatti se non ne sei convinto/a puoi sempre pensare di fare la trasposta della matrice, eseguire le operazioni elementari su di essa e poi farne nuovamente la trasposta. Il risultato è equivalente a quello che si ottiene operando direttamente sulle colonne.
Infatti se non ne sei convinto/a puoi sempre pensare di fare la trasposta della matrice, eseguire le operazioni elementari su di essa e poi farne nuovamente la trasposta. Il risultato è equivalente a quello che si ottiene operando direttamente sulle colonne.
Quello che non mi convinge è il fatto che effettuando operazioni elementari sulle colonne di una matrice associata ad un sistema si possa ottenere un sistema equivalente, cioè moltiplicando, per esempio, una colonna per uno scalare non nullo si ottiene un sistema equivalente al precedente......boooooo!!!
Hai ragione, c'è un problema da qualche parte... Ho appena fatto una verifica con un sistema semplice semplice ed ecco cosa ne è venuto fuori:
$x+y=5$
$x+2y=0$
il sistema ha soluzione x=10, y=-5
Moltiplico per 3 la seconda colonna e ottengo
$x+3y=5$
$x+6y=0$
la soluzione di questo sistema è x=10, y=-5/3, ovvero l'incognita corrispondente alla colonna che è stata moltiplicata per lo scalare assume il valore del sistema originale diviso per lo scalare.
Adesso vado a riprendere i miei appunti e controllo...
$x+y=5$
$x+2y=0$
il sistema ha soluzione x=10, y=-5
Moltiplico per 3 la seconda colonna e ottengo
$x+3y=5$
$x+6y=0$
la soluzione di questo sistema è x=10, y=-5/3, ovvero l'incognita corrispondente alla colonna che è stata moltiplicata per lo scalare assume il valore del sistema originale diviso per lo scalare.
Adesso vado a riprendere i miei appunti e controllo...
Ho rinfrescato le nozioni di teoria...
Dunque, in generale operazioni elementari si possono eseguire indifferentamente sulle righe o sulle colonne senza alterare il rango della matrice, ovvero, nel caso di un sistema lineare, senza alterare il numero di soluzioni.
Nel caso specifico dell'algoritmo di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari, non si eseguono mai operazioni sulle colonne, ma sempre e solo sulle righe della matrice associata al sistema.
In ogni caso è lecito almeno scambiare tra di loro le colonne, in quanto questo equivale (in un sistema) a sfruttare la proprietà commutativa della somma. Questo lo fai banalmente quando riordini le incognite in modo da avere un sistema scritto in forma canonica, oppure quando applichi il pivoting totale nelle tecniche di calcolo numeriche.
Spero di aver risolto i tuoi dubbi, in caso contrario chiedi pure...
Dunque, in generale operazioni elementari si possono eseguire indifferentamente sulle righe o sulle colonne senza alterare il rango della matrice, ovvero, nel caso di un sistema lineare, senza alterare il numero di soluzioni.
Nel caso specifico dell'algoritmo di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari, non si eseguono mai operazioni sulle colonne, ma sempre e solo sulle righe della matrice associata al sistema.
In ogni caso è lecito almeno scambiare tra di loro le colonne, in quanto questo equivale (in un sistema) a sfruttare la proprietà commutativa della somma. Questo lo fai banalmente quando riordini le incognite in modo da avere un sistema scritto in forma canonica, oppure quando applichi il pivoting totale nelle tecniche di calcolo numeriche.
Spero di aver risolto i tuoi dubbi, in caso contrario chiedi pure...
"|cri":
In ogni caso è lecito almeno scambiare tra di loro le colonne, in quanto questo equivale (in un sistema) a sfruttare la proprietà commutativa della somma.
Non sono tanto convinto, in questo caso si scambierebbe il valore delle due variabili coinvolte.
GRAZIE 
"Tipper":
[quote="|cri"]In ogni caso è lecito almeno scambiare tra di loro le colonne, in quanto questo equivale (in un sistema) a sfruttare la proprietà commutativa della somma.
Non sono tanto convinto, in questo caso si scambierebbe il valore delle due variabili coinvolte.[/quote]
Sì, è vero. Scusa ho fatto un po' di confusione.
Allora, però, mi sorge un dubbio: quando applichi la tecnica del pivoting totale (ad esmpio implentando l'algoritmo sul calcolatore) devi in qualche modo tenere conto degli scambi di colonne nella soluzione, giusto? ma come si fa?
Uffa, ma perchè gli esempi affrontati a lezione non presentano mai problemi del genere?
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