Matrici
Salve. Avrei dei dubbi, e desidererei una conferma a queste pseudo domande:
1) Concettualmente tradurre in formule la frase: " A è l'inversa di B", vuol dire prendere l'inversa di B, cioè $ B^-1 $, e porla uguale a $ A $ ? Cioè: $ B^-1=A $??
2) se volessi tradurre in formule la seguente frase: "Se $ AB=I $ allora $ A $ è l'inversa di $ B $ e viceversa": sarebbe giusto scriverla così: "Se $ AB=I $ allora $ A=B^-1 $ e $ B=A^-1 $ ???
3) Potrei riscrivere la frase al quesito 2, in modo equivalente, così: "Se $ AB=BA=I $allora $ A=B^-1 $ e $ B=A^-1 $"?
4) In una matrice parametrica $ 3*3 $ , se ho che il rango di $ A $ è 2 per $ lambda =2 $ e per $ lambda =-2 $ ed è 3 per $ lambda != -2 $ e per $ lambda != 2 $, posso scrivere che il rango di $ A $ è $ >= 2 $ $ AA $$ lambda epsilon R $ . So che è corretto, ma chiedo una spiegazione per confermare la mia. Io lo spiego facendo una sorta di composizione, cioè componendo i due valori di lambda + i valori diversi di lambda ottengo $ AA $, corretto?
5)Se in un sistema lineare il determinante della matrice completa è 0, come si procede (applicando Cramer)?
6)Ho una matrice parametrica con questo determinante: $ 12-3lambda ^2 $. L'esercizio mi chiede: "esiste $ B $ tale che $ AB=BA $ $ AA lambda epsilon R $: vero o falso? Io ho risposto vero, interpretandolo in questo modo: esiste $ B $ tale che $ AB=BA=I $allora $ A=B^-1 $ e $ B=A^-1 $", e cioè, in parole, mi chiede: esiste una matrice $ B $ tale che la matrice $ A $ è = all'inversa di $ B $? Ho messo vero perché qualsiasi valore appartenente ai reali io assegni a lambda la matrice $ A $ potrebbe essere l'inversa di B. Corretto?
Mi scuso per la banalità di queste cose, ma per me sono preziose. Vi ringrazio.
1) Concettualmente tradurre in formule la frase: " A è l'inversa di B", vuol dire prendere l'inversa di B, cioè $ B^-1 $, e porla uguale a $ A $ ? Cioè: $ B^-1=A $??
2) se volessi tradurre in formule la seguente frase: "Se $ AB=I $ allora $ A $ è l'inversa di $ B $ e viceversa": sarebbe giusto scriverla così: "Se $ AB=I $ allora $ A=B^-1 $ e $ B=A^-1 $ ???
3) Potrei riscrivere la frase al quesito 2, in modo equivalente, così: "Se $ AB=BA=I $allora $ A=B^-1 $ e $ B=A^-1 $"?
4) In una matrice parametrica $ 3*3 $ , se ho che il rango di $ A $ è 2 per $ lambda =2 $ e per $ lambda =-2 $ ed è 3 per $ lambda != -2 $ e per $ lambda != 2 $, posso scrivere che il rango di $ A $ è $ >= 2 $ $ AA $$ lambda epsilon R $ . So che è corretto, ma chiedo una spiegazione per confermare la mia. Io lo spiego facendo una sorta di composizione, cioè componendo i due valori di lambda + i valori diversi di lambda ottengo $ AA $, corretto?
5)Se in un sistema lineare il determinante della matrice completa è 0, come si procede (applicando Cramer)?
6)Ho una matrice parametrica con questo determinante: $ 12-3lambda ^2 $. L'esercizio mi chiede: "esiste $ B $ tale che $ AB=BA $ $ AA lambda epsilon R $: vero o falso? Io ho risposto vero, interpretandolo in questo modo: esiste $ B $ tale che $ AB=BA=I $allora $ A=B^-1 $ e $ B=A^-1 $", e cioè, in parole, mi chiede: esiste una matrice $ B $ tale che la matrice $ A $ è = all'inversa di $ B $? Ho messo vero perché qualsiasi valore appartenente ai reali io assegni a lambda la matrice $ A $ potrebbe essere l'inversa di B. Corretto?
Mi scuso per la banalità di queste cose, ma per me sono preziose. Vi ringrazio.
Risposte
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare[/xdom]
"Francobati":
1) Concettualmente tradurre in formule la frase: " A è l'inversa di B", vuol dire prendere l'inversa di B, cioè $ B^-1 $, e porla uguale a $ A $ ? Cioè: $ B^-1=A $??
Dipende dal contesto. Per come l'hai scritta è la semplice affermazione che la matrice $A$ risulta uguale a $B^(-1)$. Se la frase fosse nella forma "Sia $A$ l'inversa di $B$" o se la tua frase "$A$ è l'inversa di $B$" si trova in una lista di ipotesi stai dicendo che $A = B^(-1)$ per definizione (i.e. poni $A$ uguale a $B^(-1)$).
"Francobati":
2) se volessi tradurre in formule la seguente frase: "Se $ AB=I $ allora $ A $ è l'inversa di $ B $ e viceversa": sarebbe giusto scriverla così: "Se $ AB=I $ allora $ A=B^-1 $ e $ B=A^-1 $ ???
Sì; più formalmente sarebbe \(AB = I \Rightarrow (A = B^{-1}\) \( e \) \(B = A^{-1})\); tale formula è corretta ma migliorabile, dal momento che $A = B^(-1) \iff B = A^(-1)$ e l'implicazione principale è in realtà una doppia implicazione. Scrivere $AB = I \iff A = B^(-1)$ secondo me è l'ideale. Ma tutto ciò dipende dal contesto (Le proprietà che sto dando per scontate sono già state dimostrate? È un enunciato da dimostrare o stai richiamando delle proprietà che consideri note?).
"Francobati":
3) Potrei riscrivere la frase al quesito 2, in modo equivalente, così: "Se $ AB=BA=I $allora $ A=B^-1 $ e $ B=A^-1 $"?
Su per giù valgono le considerazioni fatte sopra. In questo caso ci sono di mezzo aspetti più delicati, ma continua a dipendere dal contesto.
"Francobati":
4) In una matrice parametrica $ 3*3 $ , se ho che il rango di $ A $ è 2 per $ lambda =2 $ e per $ lambda =-2 $ ed è 3 per $ lambda != -2 $ e per $ lambda != 2 $, posso scrivere che il rango di $ A $ è $ >= 2 $ $ AA $$ lambda epsilon R $ . So che è corretto, ma chiedo una spiegazione per confermare la mia. Io lo spiego facendo una sorta di composizione, cioè componendo i due valori di lambda + i valori diversi di lambda ottengo $ AA $, corretto?
La domanda non è molto chiara.
"Francobati":
5)Se in un sistema lineare il determinante della matrice completa è 0, come si procede (applicando Cramer)?
La sola informazione che il determinante sia nullo non è sufficiente per rispondere, dovresti conoscere il rango della matrice dei coefficienti ed il rango della matrice completa per dire se la matrice ha soluzione (e dire l'ordine della matrice completa, per stabilire nel caso in cui la soluzione esista, se essa è unica e quindi puoi applicare il metodo di Cramer, o meno).
"Francobati":
6)Ho una matrice parametrica con questo determinante: $ 12-3lambda ^2 $. L'esercizio mi chiede: "esiste $ B $ tale che $ AB=BA $ $ AA lambda epsilon R $: vero o falso? Io ho risposto vero, interpretandolo in questo modo: esiste $ B $ tale che $ AB=BA=I $allora $ A=B^-1 $ e $ B=A^-1 $", e cioè, in parole, mi chiede: esiste una matrice $ B $ tale che la matrice $ A $ è = all'inversa di $ B $? Ho messo vero perché qualsiasi valore appartenente ai reali io assegni a lambda la matrice $ A $ potrebbe essere l'inversa di B. Corretto?
Devo supporre che la matrice con quel determinante sia $A$?
Ma in un sistema lineare quadrato (dove ha senso applicare Cramer) la matrice completa non è quadrata, quindi non ha un determinante. Mi sono perso qualcosa?
"Pappappero":
Ma in un sistema lineare quadrato (dove ha senso applicare Cramer) la matrice completa non è quadrata, quindi non ha un determinante. Mi sono perso qualcosa?
No, hai ragione, quello che ho scritto al punto 5) non ha senso.
Le domande che ho postato sopra si riferiscono ai seguenti due esercizi:
Esercizio 1:
Sia data la matrice $ A $,
$ A $ $ A=( ( lambda-1 , lambda , 10/3 ),( 1 , -2 , lambda ),( 0 , 3 , 1 ) ) $
con $ lambda $ parametro reale. Quale delle seguenti asserzioni è FALSA
- $ r(A)>= 2AA epsilon R $: VERO O FALSO?
- Non esiste $ lambda epsilon R $ tale che $ | A| =| A^-1| $ : VERO O FALSO?
- Esiste $ B $ tale che $ AB=BA AA epsilon R $: VERO O FALSO?
- Per $ lambda =4 $, il $ | A^-1| =1/| A| $: VERO O FALSO?
Per $ lambda =0 $, $ | 1/2A| =3/2 $: VERO O FALSO?
Ho calcolato il determinante di $ A $, $ |A| =12-3lambda ^2 $.
La risposta esatta e la seconda: "Non esiste $ lambda epsilon R $ tale che $ | A| =| A^-1| $".
Ma desidererei una spiegazione sul perché è VERA la terza: Esiste $ B $ tale che $ AB=BA AA epsilon R $. Inoltre, risolvendo la matrice so che il $ r(A)=2 $ per $ lambda =-2 $ e per $ lambda =2 $; il $ r(A)=3 $ per $lambda $!= $-2 $ e per $lambda $!= $ 2 $, ma non ho ben chiaro perché ciò equivale a scrivere:$ r(A)>= 2AA epsilon R $.
L'esercizio sul sistema, invece è il seguente:
Esercizio 2.
Sia dato il seguente sistema lineare:
$ { ( ax+2y=-a ),( (a+1)+4y=-3a+1 ),( -ax-2y=a ):} $
con $ a $ parametro reale. Quale delle seguenti asserzioni è falsa?
- il sistema è sempre possibile: VERO O FALSO?
- Non esiste $ aepsilon R $ tale che il sistema è indeterminato: VERO O FALSO?
- Per $ a=2 $ $ (x,y)=(1,-2) $ è l'unica soluzione del sistema: VERO O FALSO?
- Non esiste $ aepsilon R $ tale che il sistema ammetta la soluzione nulla: VERO O FALSO?
- Esistono infiniti valori di $ aepsilon R $ per cui il sistema è possibile: VERO O FALSO?
La risposta esatta è: Non esiste $ aepsilon R $ tale che il sistema è indeterminato.
Lo devo risolvere con Cramer. Calcolo il determinante dell'incompleta è viene $ 0 $ . E poi? Come si procede?
Esercizio 1:
Sia data la matrice $ A $,
$ A $ $ A=( ( lambda-1 , lambda , 10/3 ),( 1 , -2 , lambda ),( 0 , 3 , 1 ) ) $
con $ lambda $ parametro reale. Quale delle seguenti asserzioni è FALSA
- $ r(A)>= 2AA epsilon R $: VERO O FALSO?
- Non esiste $ lambda epsilon R $ tale che $ | A| =| A^-1| $ : VERO O FALSO?
- Esiste $ B $ tale che $ AB=BA AA epsilon R $: VERO O FALSO?
- Per $ lambda =4 $, il $ | A^-1| =1/| A| $: VERO O FALSO?
Per $ lambda =0 $, $ | 1/2A| =3/2 $: VERO O FALSO?
Ho calcolato il determinante di $ A $, $ |A| =12-3lambda ^2 $.
La risposta esatta e la seconda: "Non esiste $ lambda epsilon R $ tale che $ | A| =| A^-1| $".
Ma desidererei una spiegazione sul perché è VERA la terza: Esiste $ B $ tale che $ AB=BA AA epsilon R $. Inoltre, risolvendo la matrice so che il $ r(A)=2 $ per $ lambda =-2 $ e per $ lambda =2 $; il $ r(A)=3 $ per $lambda $!= $-2 $ e per $lambda $!= $ 2 $, ma non ho ben chiaro perché ciò equivale a scrivere:$ r(A)>= 2AA epsilon R $.
L'esercizio sul sistema, invece è il seguente:
Esercizio 2.
Sia dato il seguente sistema lineare:
$ { ( ax+2y=-a ),( (a+1)+4y=-3a+1 ),( -ax-2y=a ):} $
con $ a $ parametro reale. Quale delle seguenti asserzioni è falsa?
- il sistema è sempre possibile: VERO O FALSO?
- Non esiste $ aepsilon R $ tale che il sistema è indeterminato: VERO O FALSO?
- Per $ a=2 $ $ (x,y)=(1,-2) $ è l'unica soluzione del sistema: VERO O FALSO?
- Non esiste $ aepsilon R $ tale che il sistema ammetta la soluzione nulla: VERO O FALSO?
- Esistono infiniti valori di $ aepsilon R $ per cui il sistema è possibile: VERO O FALSO?
La risposta esatta è: Non esiste $ aepsilon R $ tale che il sistema è indeterminato.
Lo devo risolvere con Cramer. Calcolo il determinante dell'incompleta è viene $ 0 $ . E poi? Come si procede?
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