Matrice Vr Tensore
Qual è la differenza sostanziale fra matrice e tensore ??
Quale caratteristiche deve avere una matrice per poter essere definita tensore o viceversa?
grazie....
Quale caratteristiche deve avere una matrice per poter essere definita tensore o viceversa?
grazie....
Risposte
La differenza è che una matrice puo rappresentare solo un tensore doppio. Un tensore di ordine maggiore di due non puo essere rappresentato in forma matriciale.
Considerando che un tensore non deve sottostare a nessuna caratteristica particolare per esserlo (a quanto ne so) e una matrice non è altro che una rappresentazione di un tensore doppio, anche la matrice non dovrebbe sottostare a nessuna condizione.
Le differenze saltano fuori quando si entra nello specifico come ad esempio in teodia dell'elasticità.
In quel campo sforzi e deformazioni (che sono tensori doppi) sono connessi da un tensore di quarto ordine (81 componenti). Utilizzando alcune proprietà di simmetria del problema in questione e introducendo vari legami costitutivi si può scendere in acluni casi a 6 costanti indipendenti.
In questo caso viene utile rappresentare il legame con una matrice doppia simmetrica, che però non è altro che una rappresentazione comoda, pertanto per essa non valgono le proprietà tipiche delle matrici in quanto è solo un modo compatto di rappresentare un tensore di quarto ordine.
Considerando che un tensore non deve sottostare a nessuna caratteristica particolare per esserlo (a quanto ne so) e una matrice non è altro che una rappresentazione di un tensore doppio, anche la matrice non dovrebbe sottostare a nessuna condizione.
Le differenze saltano fuori quando si entra nello specifico come ad esempio in teodia dell'elasticità.
In quel campo sforzi e deformazioni (che sono tensori doppi) sono connessi da un tensore di quarto ordine (81 componenti). Utilizzando alcune proprietà di simmetria del problema in questione e introducendo vari legami costitutivi si può scendere in acluni casi a 6 costanti indipendenti.
In questo caso viene utile rappresentare il legame con una matrice doppia simmetrica, che però non è altro che una rappresentazione comoda, pertanto per essa non valgono le proprietà tipiche delle matrici in quanto è solo un modo compatto di rappresentare un tensore di quarto ordine.
Mi permetto di aggiungere che , a quanto ne so dai miei studi di RR ed RG, un tensore può essere tale solo se soddisfa certe regole per il cambio di coordinate, infatti ci sono alcune matrici, che non sono tensori ma pseudotensori, ad esempio la rappresentazione del prodotto esterno in forma vettoriale non è riconducibile ad un tensore ma ad un pseudotensore.
Condivido in buona parte le risposte.
Vorrei aggiungere un'altra possibile interpretazione.
Per i tensori di ordine 2, le matrici (a due indici) sono una rappresentazione in un definito sistema di riferimento. Possiamo infatti dire che:
una matrice a due indici sta a un tensore doppio come una matrice colonna (a un indice) sta a un vettore.
Una matrice permette quindi di esprimere l'aspetto del tensore in un certo riferimento tramite una collezione ordinata di quantità scalari (gli elementi della matrice) e, per mezzo di queste, di studiarne le proprietà intrinseche (invarianti) che lo caratterizzano indipendentemente dal sistema di riferimento.
Tali proprietà sono, nella nostra similitudine, l'equivalente del modulo del vettore.
ciao
Vorrei aggiungere un'altra possibile interpretazione.
Per i tensori di ordine 2, le matrici (a due indici) sono una rappresentazione in un definito sistema di riferimento. Possiamo infatti dire che:
una matrice a due indici sta a un tensore doppio come una matrice colonna (a un indice) sta a un vettore.
Una matrice permette quindi di esprimere l'aspetto del tensore in un certo riferimento tramite una collezione ordinata di quantità scalari (gli elementi della matrice) e, per mezzo di queste, di studiarne le proprietà intrinseche (invarianti) che lo caratterizzano indipendentemente dal sistema di riferimento.
Tali proprietà sono, nella nostra similitudine, l'equivalente del modulo del vettore.
ciao
"Marco83":
Considerando che un tensore non deve sottostare a nessuna caratteristica particolare per esserlo (a quanto ne so) e una matrice non è altro che una rappresentazione di un tensore doppio, anche la matrice non dovrebbe sottostare a nessuna condizione.
una caratteristica c'è, ed è fondamentale!
come accennava Giovanni un tensore è un ente matematico a n indici che al cambio delle coordinate muta con legge LINEARE e OMOGENEA, ossia
se $R_(ijk...)^(lmn...)$ è un tensore rispetto ad un sistema di coordinate e $R_(i'j'k'...)^(l'm'n'...)$ rispetto ad un altro essi saranno legati da una trasformazione del tipo
$R_(ijk...)^(lmn...) = R_(i'j'k'...)^(l'm'n'...) A_i^(i') A_j^(j') A_k^(k') A_(l')^l A_(m')^m A_(n')^n .... $
(su tutti gli indici in posizione opposta è sottointesa per convenzione una sommatoria)
si può notare tra l'altro come la legge trasformazione sia diversa per gli indici in posizione covariante ijk e quelli in posizione controvariante lmn.
la caratteristica interessantissima di un tensore è che se si annulla in un sistema di coordinate, si annullerà in tutti! per questo si è pensato un bel giorno di scrivere le leggi della Fisica in forma tensoriale!
come contro-esempio porto i simboli di Christoffel (che provengono dalle equazioni del moto della base naturale di una superficie di dim n immersa in uno spazio E^(n+1) ) $Gamma_(jk)^l$ che nella legge di trasformazione sviluppano una parte affine:
$Gamma_(jk)^l = Gamma_(j'k')^(l') A_j^(j') A_k^(k') A_(l')^l + (delA_k^(k')) / (delu^(l')) A_(j')^k + ....$
sono rappresentati da un ente a tre indici, e possono dunque essere visualizzati come elementi di una famiglia di matrici, ma non sono elementi di un tensore! (infatti si chiamano simboli)
ciao io la differenza la so così
matrice: tabella con numeri
tensore: lega 2 quantità fisiche ed è sogetto a particolari proprietà?
matrice: tabella con numeri
tensore: lega 2 quantità fisiche ed è sogetto a particolari proprietà?
Dunque:
Dati n spazi vettoriali, un tensore è un' applicazione n-lineare simmetrica sul prodotto cartesiano dei duali degli spazi, se non ricordo male.
Dati n spazi vettoriali, un tensore è un' applicazione n-lineare simmetrica sul prodotto cartesiano dei duali degli spazi, se non ricordo male.
Secondo me con tutte queste definizioni il povero collega non ha capito niente di cosa è un tensore. Gli risparmio una definizione diversa.
"Luca.Lussardi":
Secondo me con tutte queste definizioni il povero collega non ha capito niente di cosa è un tensore. Gli risparmio una definizione diversa.
Ben detto !
In effetti sembra si sia fatta un po’ di confusione, e di ciò sono in parte responsabile, giacchè proprio io in un altro postato [dove si parla di mezzi materiali ‘anostropi’…] ho affermato [testualmente…] ‘un tensore è un ente matematico che ha propeità analoghe a quelle delle matrici’…
Per la verità le cose stanno un poco diversamente e solo nel caso di una scrittura del tipo…
$D= |epsilon|* E$ (1)
…, dove $D$ ed $E$ sono vettori, l’entità $|epsilon|$ è in effetti un matrice. Più in generale un tesore di ordine $k$ è un insieme discreto di numeri [reali o complessi] disposti in $k$ dimesioni. Più esattamente un generico elemento di un tensore è un numero corredato da indici così…
a) $k=0$ -> $a$ è uno scalare
b) $k=1$ -> $a_i$ , $i=1,2,…,n$ è un vettore
c) $k=2$ -> $a_ij$ , $i=1,2,…,n$ , $j=1,2,…,n$ è una matrice
d) $k=3$ -> $a_ijk$ , $i=1,2,…,n$ , $j=1,2,…,n$, $k=1,2,…,n$ è una ‘entità senza nome’
… e c osì via. In tutti i casi [a),b),c),d),…] si tratta di tensori. Se è permesso un parallelo ‘geometrico’ possiamo dire che se $k=0$ abbiamo un punto, se $k=1$ abbiamo un ‘segmento’, se $k=2$ abbiamo un ‘cubo’, se $k=4$ un ‘ipercubo’ e così via…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may loose his teeth, but never his nature
Per la verità le cose stanno un poco diversamente e solo nel caso di una scrittura del tipo…
$D= |epsilon|* E$ (1)
…, dove $D$ ed $E$ sono vettori, l’entità $|epsilon|$ è in effetti un matrice. Più in generale un tesore di ordine $k$ è un insieme discreto di numeri [reali o complessi] disposti in $k$ dimesioni. Più esattamente un generico elemento di un tensore è un numero corredato da indici così…
a) $k=0$ -> $a$ è uno scalare
b) $k=1$ -> $a_i$ , $i=1,2,…,n$ è un vettore
c) $k=2$ -> $a_ij$ , $i=1,2,…,n$ , $j=1,2,…,n$ è una matrice
d) $k=3$ -> $a_ijk$ , $i=1,2,…,n$ , $j=1,2,…,n$, $k=1,2,…,n$ è una ‘entità senza nome’
… e c osì via. In tutti i casi [a),b),c),d),…] si tratta di tensori. Se è permesso un parallelo ‘geometrico’ possiamo dire che se $k=0$ abbiamo un punto, se $k=1$ abbiamo un ‘segmento’, se $k=2$ abbiamo un ‘cubo’, se $k=4$ un ‘ipercubo’ e così via…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may loose his teeth, but never his nature
Per inciso, quando Cartesio si sbarazzò dei paralleli geometrici, la matematica divenne matura.
Per inciso, quando Cartesio si sbarazzò dei paralleli geometrici, la matematica divenne matura.
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