Matrice trasposta

[smaug1]

Volevo sapere ma per ogni matrice $Q$ vale il fatto che $Q^t\ Q = I$ ? E solo per le ortogonali $Q^t = Q^-1$ ? Le colonne di una matrice ortogonale costituiscono una base ortonormale? Quindi i vettori colonna hanno norma 1 e sono tra loro perpendicolari?

[vict85]

Solo per le matrici ortogonali. Per vederlo ti basta prendere una matrice ortogonale \(Q\) e considerare la matrice \(nQ\) per un qualche \(n\in \mathbb{R}\). Allora avrai che \((nQ)^t(nQ) = n^2Q^tQ = n^2I\). In generale quel prodotto può ovviamente essere molto più vario. L'unica cosa che è certe è che il risultato è una matrice simmetrica.

[smaug1]

Vorrei chiedere un'altra cosa:

Siano $R$ ed $U$ matrici, $R$ ortogonale ed $U$ simmetrica definita positiva, $d$ ed $e$ versori se ho un prodotto del genere

$R\ U\ d$ $R\ U\ e$ posso dire che ciò è uguale a $R^t\ R\ U\ d\ U\ e$ vorrei sapere questa cosa di portare la seconda $R$ a sinistra di tutto ma trasponendola, si può fare anche se scrivevo $ R\ U\ R^t\ d\ U\ e$ ?? Qual è la legge che regola ciò?

[vict85]

Vorrei capire come pensi di fare la moltiplicazione \(\displaystyle UdR \). Non ha alcun senso in termini di dimensione. \(\displaystyle d \), come versore, ha dimensione \(\displaystyle n\times 1 \) (eventualmente \(\displaystyle 1\times n \) a seconda delle preferenze dell'autore del libro o del professore) e quindi \(\displaystyle Ud \) ha senso ma il risultato non può essere moltiplicato per \(\displaystyle R \) perché la sua dimensione sarebbe una "matrice" \(\displaystyle n\times 1 \).

Anche la scrittura \(\displaystyle RU(d^tRUe) \) non avrebbe senso perché \(\displaystyle (d^tRUe) \) ha come risultato uno matrice \(\displaystyle 1\times 1 \). Con un po' di inventiva potrebbe però essere interpretata come la moltiplicazione per prodotto \(\displaystyle RU \) per la forma bilineare (non simmetrica) definita dalla matrice \(\displaystyle RU \). Ma bisogna vedere il tutto come \(\displaystyle (d^tRUe)RU \), interpretare in termini di funzioni e anche così direi che ci vuole fantasia.

Come minimo quindi la tua notazione è sbagliata.