Matrice singolare

[matematicoestinto]

Scusate.. sono un po' arruginito in algebra lineare...

Data uan matrice A 3x3 e un vettore n a tre compontenti, perchè se

$[A][n]=0$ allora $[A]$ è singolare?

grazie

[Fioravante Patrone1]

Ammesso che $n$ sia un vettore non nullo (cosa che penso sia sottintesa), la condizione che hai ti dice che un sistema lineare omogeneo ha altre soluzioni diverse da quella nulla. Ergo, per Cramer, il det della matrice deve essere zero, ovvero la matrice è singolare.

Oppure, l'operatore lineare associato alla matrice (tramite basi... bla bla) non è iniettivo e quindi la matrice ad esso associate (con quelle basi) è singolare.

[matematicoestinto]

"Fioravante Patrone": Ergo, per Cramer, il det della matrice deve essere zero, ovvero la matrice è singolare.

Perchè? E' quello che non capisco.

azzardo uno motivazione:
ad esempio la componente $x$ è data da: $n_x=det((0,b,c),(0,e,f),(0,h,i))/det((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))$

e siccome il numeratore è 0 e si richiede che $n_x$ sia diverso da 0, allora anche il denominatore deve essere 0.

E' corretto?


grazie

[Chevtchenko]

"matematicoestinto":[quote="Fioravante Patrone"] Ergo, per Cramer, il det della matrice deve essere zero, ovvero la matrice è singolare.

Perchè? E' quello che non capisco.[/quote]
Semplicemente perché, per Cramer, se il det della matrice fosse non nullo il sistema avrebbe una sola soluzione (quella nulla).