Matrice simmetrica prodotto scalare

[nico749]

Ho questo problema.
in $RR^3$ si consideri il PS definito come

$x * y = x_2*y_2 + x_3*y_1 + x_1*y_3 AA x,y in RR^3$

determinare la matrice simmetrica $A in RR^(3*3)$ t.c. si abbia

$x*y = x^T A y$

Mi scuso se sto per scrivere delle castronerie.

io so che se hai un prodotto scalare P, definito sullo spazio V e una base di questo $B=(b1,…,bn)$,
la matrice associata a P rispetto a B e' la matrice simmetrica M, di componenti $Mij=P(bi,bj)$.

Quindi devo prendere una base di $RR^3$ e la matrice mi viene fuori calcolando $Mij=P(bi,bj)$ con i numeri della base?

[ciampax]

Sì.

[nico749]

quindi la matrice sopra viene $((0,0,1),(0,1,0),(1,0,0))$ giusto?


ho un alto quesito
è sempre lo stesso tipo di problema questa volta il PS è definito come

$x_1y_1 + 4 x_2 y_2 + 2x_1 y_2 + 2 x_2 y_1$


la matrice dovrebbe venire se ho calcolato giusto $((1,2),(2,4))$

devo calcolare
1) una base ortogonale di $RR^2$
2) il tipo di definizione del PS
3) i vettori isotropi

per il punto due so che il PS è definito positivo se $x*x > 0$ , negativo se $x*x < 0$ e cosi via

per gli altri due punti mi potreste dare uno spunto perchè non so da dove partire

grazie

[Sk_Anonymous]

1) A partire dalla base canonica ${u_1=((1),(0)),u_2=((0),(1))}$ si può ottenere una base ortogonale ${v_1,v_2}$ col procedimento di Gram-Schmidt ( lievemente modificato). In base ad esso abbiamo:
\(\displaystyle \begin{cases}v_1=u_1=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}\\v_2=u_2-P(u_2,v_1)v_1\end{cases} =\)
Ovvero:
$v_1=u_1=((1),(0))$
$v_2=u_2-P(u_2,v_1)v_1=((0),(1))-[(0,1)((1,2),(2,4))((1),(0))]((1),(0))=((0),(1))-[(2,4)((1),(0))]((1),(0))=$
$=((0),(1))-2((1),(0))=((-2),(1))$
In conclusione una base ortogonale è :
${((1),(0)), ((-2),(1))}$

3) i vettori isotropi sono i vettori ortogonali a se medesimi. Deve quindi verificarsi che :
$P{ ((x_1),(x_2)),((x_1),(x_2)) }=0$
Cioè:
$(x_1,x_2)((1,2),(2,4))((x_1),(x_2))=0$
Da qui l'equazione :
$x_1^2+4x_1x_2+4x_2^2=0$-> $(x_1+2x_2)^2=0-> x_1=-2x_2$
Ponendo, ad esempio, $x_2=1$ si ha $x_1=-2 $ e dunque lo Span dei vettori isotropi è $<((-2),(1))>$
N.B. I prodotti scalari che intervengono nei calcoli possono essere calcolati, anziché con la matrice, direttamente con la formula data nel testo dell'esercizio.

[nico749]

grazie mille per la risposta, con gli esempi di calcolo è tutto piu semplice.
penso di aver capito il procedimento