Matrice simmetrica e definita positiva

[markowitz]

Premessa, lavoriamo in $RR^n$, dove complica le cose, lasciamo perdere $CC^n$

Io so che una matrice è definita positiva se e solo se possiede tutti gli autovalori non nulli, (quindi, tra l'altro, è anche invertibile).

So che le matrici simmetriche sono definite positive.

So che le matrici simmetriche hanno autovalori tutti reali.
Ma ne abbiamo sempre $n$ distinti?

E soprattutto, se ho autovalori tutti reali e positivi, allora la matrice è sicuramente definita positiva,
ma è anche sicuramente simmetrica?

[markowitz]

Ho un nuovo problema ma di carattere più economico diciamo.

Avevo letto su un libro di risk management, di taglio non troppo matematico e da dire, che la matrice var-cov per essere “coerente” deve essere simmetrica, e qui va be; e definita positiva.
per le implicazioni economiche di tale condizione in breve, poche righe, il libro diceva che se la matrice è definita positiva si evitano situazioni assurde del tipo
$"Corr" A,B =0,8 "corr" A,C=0,5$ e $"corr" B,C=-0,4$
Eppure facendo un po di prove non mi sembra proprio sia vero, cioè anche se la matrice è definita positiva parecchie correlazioni assurde sono ammesse.
Ne sapete qualcosa?

[markowitz]

Come non detto, ho chiarito.
Controllando su riferimenti più tecnici ho avuto conferma che la positività, oltre alla simmetria, è condizione sufficiente per la coerenza (non è detto esplicitamente ma...)

L'esempio che ho fatto è incoerente ed infatti ha un'autovalore negativo
ma comunque esistono infinite combinazioni coerenti dove $"corr"(A,B),"corr"(A,C)>0$ ma $"corr"(B,C)<0$,
ne deduco che una volta fissata una correlazione l'altra ha un si un "dominio ridotto" rispetto quello a priori
ma ad occhio non lo si vede. Su più dimensioni poi...