Matrice simmetrica- Autovalore più grande
Con Matlab ho creato $A in RR^{n times n}$ matrice simmetrica,
tale che ogni suo elemento è un numero casuale in $(0,1)$ (ho usato la funzione $\text{rand}$).
Ebbene, ogni volta che vado a vedere i suoi $n$ autovalori $lambda_1>=lambda_2>=...>=lambda_n$ (sono tutti reali, dato che $A$ è simmetrica) si ha sempre che l'autovalore maggiore $lambda_1$ è "molto più grande" di tutti gli altri.
Esempio: creo $A$ simmetrica reale $500 times 500$, calcolo tutti gli autovalori e ottengo che i primi $499$ sono tutti in $(-13,13)$ e "vicini" tra loro, mentre $lambda_1$ è circa $250$.
Perchè accade questo?
tale che ogni suo elemento è un numero casuale in $(0,1)$ (ho usato la funzione $\text{rand}$).
n=500;A=triu(rand(n)); A=A+tril(A',-1);
Ebbene, ogni volta che vado a vedere i suoi $n$ autovalori $lambda_1>=lambda_2>=...>=lambda_n$ (sono tutti reali, dato che $A$ è simmetrica) si ha sempre che l'autovalore maggiore $lambda_1$ è "molto più grande" di tutti gli altri.
Esempio: creo $A$ simmetrica reale $500 times 500$, calcolo tutti gli autovalori e ottengo che i primi $499$ sono tutti in $(-13,13)$ e "vicini" tra loro, mentre $lambda_1$ è circa $250$.
Perchè accade questo?
Risposte
Bella domanda! Hai provato a vedere se succede lo stesso anche se gli elementi sono numeri casuali in \((-1, 1)\)?
Se si usa la funzione $text{rand}$ di Matlab, succede lo stesso.
Qui ho trovato la spiegazione. VIene dimostrato che se $A=(a_(ij))$ è matrice $n times n$ simmetrica e le $a_(ij)$ sono variabili aleatorie indipendenti tutte con media $mu$ e varianza $sigma^2$, allora tutti gli autovalori si trovano nell'intervallo $(-2sigma sqrtn, 2 sigma sqrtn)$, tranne $lambda_1$ che si trova vicino a $n*mu + sigma^2/mu$
La funzione $text{rand}$ di Matlab genera variabili aleatorie con distribuzione uniforme su $(0,1)$, dunque la media è $1/2$ e la varianza è $1/12$.
Tutto torna: con $n=500$ si ha $2 sigma sqrtn= 2 * 1/sqrt(12) * sqrt(500)= 12.91$ e $n*mu+ sigma^2/mu= 250.0416$
Qui ho trovato la spiegazione. VIene dimostrato che se $A=(a_(ij))$ è matrice $n times n$ simmetrica e le $a_(ij)$ sono variabili aleatorie indipendenti tutte con media $mu$ e varianza $sigma^2$, allora tutti gli autovalori si trovano nell'intervallo $(-2sigma sqrtn, 2 sigma sqrtn)$, tranne $lambda_1$ che si trova vicino a $n*mu + sigma^2/mu$
La funzione $text{rand}$ di Matlab genera variabili aleatorie con distribuzione uniforme su $(0,1)$, dunque la media è $1/2$ e la varianza è $1/12$.
Tutto torna: con $n=500$ si ha $2 sigma sqrtn= 2 * 1/sqrt(12) * sqrt(500)= 12.91$ e $n*mu+ sigma^2/mu= 250.0416$
Bello! Complimenti
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