Matrice Simili
Salve
Ho queste due matrici :
$ A= ( ( 1, 0 , 0 ),( -1 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $ $ B= ( ( 1, 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Che sono simili (l' ho verificato facendo la forma di jordan di A che è venuta uguale a B).
La domanda mi chiede se esiste una matrice $C$ tale che: $C^-1 *A*C=B $
Correggetemi se sbaglio io ho fatto il seguente passaggio : $C*C^-1 *A*C=C*B $
avendo per risultato $A*C=C*B $
quindi ho preso una matrice C fatta di incognite ed ho ipostato le equazioni, il problema è che due incognite mi si semplificano e quindi non riesco a trovare il loro valore.
Ho sbagliato in qualche cosa ?? Questo è il metodo di procedere corretto ?
Oppure semplicemente la matrice $C$ non può esistere, nel caso perchè ?
Grazie
Ho queste due matrici :
$ A= ( ( 1, 0 , 0 ),( -1 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $ $ B= ( ( 1, 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Che sono simili (l' ho verificato facendo la forma di jordan di A che è venuta uguale a B).
La domanda mi chiede se esiste una matrice $C$ tale che: $C^-1 *A*C=B $
Correggetemi se sbaglio io ho fatto il seguente passaggio : $C*C^-1 *A*C=C*B $
avendo per risultato $A*C=C*B $
quindi ho preso una matrice C fatta di incognite ed ho ipostato le equazioni, il problema è che due incognite mi si semplificano e quindi non riesco a trovare il loro valore.
Ho sbagliato in qualche cosa ?? Questo è il metodo di procedere corretto ?
Oppure semplicemente la matrice $C$ non può esistere, nel caso perchè ?
Grazie
Risposte
Se non mi sbagliassi quelle 2 equazioni matriciali che hai scritto non dovrebbero essere equivalenti! 
EDIT: Controllato: è errato!
EDIT: Controllato: è errato!
Quindi la risposta è no ??
Violano un teorema ??
Ti puoi spiegare meglio
Violano un teorema ??
Ti puoi spiegare meglio
Posta i conti e te li controllo!
$ ( ( 1 ,0, 0 ),(-1 ,1 ,1 ),( 1,0 ,0 ) ) *( ( x(1) ,x(2), x(3) ),(y(1),y(2) ,y(3) ),(z(1),z(2) ,z(3) ) )=( ( x(1) ,x(2), x(3) ),(y(1),y(2) ,y(3) ),(z(1),z(2) ,z(3) ) )*( ( 1 ,0, 0 ),(0 ,1 ,0 ),( 0,0 ,0 ) )$
Faccio la moltiplicazioni ed ho il seguente sistema:
$ ( ( x(1) ,x(2), x(3) ),(-x(1)+y(1)+z(1) ,-x(2)+y(2)+z(3) ,-x(3)+y(3)+z(3) ),( x(1),x(2) ,x(3) ) )=( ( x(1) ,x(2), 0 ),(y(1) ,y(2) ,0 ),( z(1),z(2) ,0 ) )$
Ora imposto le equazioni ma la variabile $y(2)$ e$y(1)$ si semplificano e quindi non so più come procedere.
Ho fatto bene?
Dubito di aver sbagliato i conti, credo che ciò vuol dire che la matrice $C$ non possa esistere giusto ??
Faccio la moltiplicazioni ed ho il seguente sistema:
$ ( ( x(1) ,x(2), x(3) ),(-x(1)+y(1)+z(1) ,-x(2)+y(2)+z(3) ,-x(3)+y(3)+z(3) ),( x(1),x(2) ,x(3) ) )=( ( x(1) ,x(2), 0 ),(y(1) ,y(2) ,0 ),( z(1),z(2) ,0 ) )$
Ora imposto le equazioni ma la variabile $y(2)$ e$y(1)$ si semplificano e quindi non so più come procedere.
Ho fatto bene?
Dubito di aver sbagliato i conti, credo che ciò vuol dire che la matrice $C$ non possa esistere giusto ??
A parte questi calcoli (che non ho controllato) credo che la metodologia utilizzata per la ricerca della matrice di similitudine non sia quella giusta.
Hai detto che $A$ è simile a $B$ (in realtà non so se è vero, visto che non ho controllato, ma mi fido di quello che dici).
Dalla definizione di similitudine sai che esiste una matrice $C$ tale che $B=C^{-1}AC$.
Quindi una matrice $C$ esiste.
Ora osserva che la matrice $B$ è diagonale. Quindi $A$ è diagonalizzabile e la matrice $C$ non è altro che la matrice (o forse la sua inversa...) formata (sulle colonne) da una base diagonalizzante.
Devi rispolverare un po' i metodi che hai studiato nel primo corso di algebra lineare...
Hai detto che $A$ è simile a $B$ (in realtà non so se è vero, visto che non ho controllato, ma mi fido di quello che dici).
Dalla definizione di similitudine sai che esiste una matrice $C$ tale che $B=C^{-1}AC$.
Quindi una matrice $C$ esiste.
Ora osserva che la matrice $B$ è diagonale. Quindi $A$ è diagonalizzabile e la matrice $C$ non è altro che la matrice (o forse la sua inversa...) formata (sulle colonne) da una base diagonalizzante.
Devi rispolverare un po' i metodi che hai studiato nel primo corso di algebra lineare...
Hai eseguito male il I prodotto righe per colonne. 
Scusa avevo scritto male la prima matrice puoi controllare ora. Non ci dovrebbero essere errori.
Pero non si spiega il fatto che per il teorema ci dovrebbe essere la C.
Sapresti come risolvere.
Grazie
Pero non si spiega il fatto che per il teorema ci dovrebbe essere la C.
Sapresti come risolvere.
Grazie
Il tuo procedimento è corretto! 
A questo punto controllerei mediante la diagonalizzazione come suggerito da cirasa!
A questo punto controllerei mediante la diagonalizzazione come suggerito da cirasa!
due matrici simili hanno gli stessi autovalori...
Ho fatto un po' di conti; l'idea giusta è quella del grande cirasa ( 
); l'esercizio viene subito una volta ricordato come si diagonalizzano le matrici.
Ti trovi gli autovalori di $A$ e vedi se la loro molteplicità algebrica è pari a quella geometrica. Trovi una base per i due autospazi. A quel punto scrivi la matrice diagonale simile ad $A$ (in questo caso è proprio B) e la matrice del cambiamento di base (la matrice diagonalizzante che stai cercando) è data mettendo in colonna i vettori delle basi degli autospazi.
); l'esercizio viene subito una volta ricordato come si diagonalizzano le matrici.Ti trovi gli autovalori di $A$ e vedi se la loro molteplicità algebrica è pari a quella geometrica. Trovi una base per i due autospazi. A quel punto scrivi la matrice diagonale simile ad $A$ (in questo caso è proprio B) e la matrice del cambiamento di base (la matrice diagonalizzante che stai cercando) è data mettendo in colonna i vettori delle basi degli autospazi.
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