Matrice rispetto alla base canonica
Sia B = {v1 = (1,2,3), v2 = (1,0, −1), v3 = (0,0,2)} una base di R3. E sia
A= $ ( ( 0, 4 , 2 ),(6 , 0 , 0 ),(0 , 8 , 4 ) ) $ la matrice associata a tale base. Si determini la matrice rispetto alla base canonica.
Ora io ho provato i due metodi che conosco, per prima cosa ho trovato le immagini dei vettori della base canonica attraverso A , per poi esprimerli come combinazioni lineare dei vettori stessi della base canonica, e niente.
ho provato anche con le matrici di cambiamento di base ma niente.
Il risultato comunque è :
B= $ ( ( 5 , -1 , 1 ),( 10 , -8, 2 ),( 35 , -31 , 7 ) ) $
A= $ ( ( 0, 4 , 2 ),(6 , 0 , 0 ),(0 , 8 , 4 ) ) $ la matrice associata a tale base. Si determini la matrice rispetto alla base canonica.
Ora io ho provato i due metodi che conosco, per prima cosa ho trovato le immagini dei vettori della base canonica attraverso A , per poi esprimerli come combinazioni lineare dei vettori stessi della base canonica, e niente.
ho provato anche con le matrici di cambiamento di base ma niente.
Il risultato comunque è :
B= $ ( ( 5 , -1 , 1 ),( 10 , -8, 2 ),( 35 , -31 , 7 ) ) $
Risposte
Il metodo in realtà è piuttosto semplice, avendo a che fare con la base canonica.
Metti i vettori della base \(\displaystyle \mathcal{B} \) in colonna e li unisci in una matrice.
\(\displaystyle T_{\mathcal{B}\,\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\3 & -1 &2 \end{pmatrix} \)
La matrice \(\displaystyle T_{\mathcal{B}\,\mathcal{C}}\) trasforma vettori della base \(\displaystyle B \) nella base canonica. Se non ci credi puoi provare.
Quindi \(\displaystyle B = T_{\mathcal{B}\,\mathcal{C}}AT_{\mathcal{B}\,\mathcal{C}}^{-1} \)
Quindi devi invertire la matrice \(\displaystyle T_{\mathcal{B}\,\mathcal{C}} \) e fare due moltiplicazioni matriciali.
Nota che trovare l'inversa è la stessa cosa che trovare i vettori della base canonica espressi tramite \(\displaystyle \mathcal{B} \) e poi scriverli in una matrice come ho fatto sopra per la base \(\displaystyle \mathcal{B} \).
Procediamo in questo secondo metodo perché lo hai già visto (e per la base canonica risulta abbastanza semplice).
\(\displaystyle \mathbf{e}_1 = \mathbf{v}_2 + \frac12\mathbf{v}_3\)
\(\displaystyle \mathbf{e}_2 = \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 - 2\mathbf{v}_3\)
\(\displaystyle \mathbf{e}_3 = \frac12\mathbf{v}_3\)
Pertanto si ha che
\(\displaystyle T_{\mathcal{B}\,\mathcal{C}}^{-1} = T_{\mathcal{C}\,\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 2^{-1} & -2 & 2^{-1} \end{pmatrix} \)
Se ne deduce che:
\(\displaystyle B = T_{\mathcal{B}\,\mathcal{C}}AT_{\mathcal{C}\,\mathcal{B}} \)
Gli ultimi calcoli li lascio a te.
Metti i vettori della base \(\displaystyle \mathcal{B} \) in colonna e li unisci in una matrice.
\(\displaystyle T_{\mathcal{B}\,\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\3 & -1 &2 \end{pmatrix} \)
La matrice \(\displaystyle T_{\mathcal{B}\,\mathcal{C}}\) trasforma vettori della base \(\displaystyle B \) nella base canonica. Se non ci credi puoi provare.
Quindi \(\displaystyle B = T_{\mathcal{B}\,\mathcal{C}}AT_{\mathcal{B}\,\mathcal{C}}^{-1} \)
Quindi devi invertire la matrice \(\displaystyle T_{\mathcal{B}\,\mathcal{C}} \) e fare due moltiplicazioni matriciali.
Nota che trovare l'inversa è la stessa cosa che trovare i vettori della base canonica espressi tramite \(\displaystyle \mathcal{B} \) e poi scriverli in una matrice come ho fatto sopra per la base \(\displaystyle \mathcal{B} \).
Procediamo in questo secondo metodo perché lo hai già visto (e per la base canonica risulta abbastanza semplice).
\(\displaystyle \mathbf{e}_1 = \mathbf{v}_2 + \frac12\mathbf{v}_3\)
\(\displaystyle \mathbf{e}_2 = \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 - 2\mathbf{v}_3\)
\(\displaystyle \mathbf{e}_3 = \frac12\mathbf{v}_3\)
Pertanto si ha che
\(\displaystyle T_{\mathcal{B}\,\mathcal{C}}^{-1} = T_{\mathcal{C}\,\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 2^{-1} & -2 & 2^{-1} \end{pmatrix} \)
Se ne deduce che:
\(\displaystyle B = T_{\mathcal{B}\,\mathcal{C}}AT_{\mathcal{C}\,\mathcal{B}} \)
Gli ultimi calcoli li lascio a te.
Grazie , ho fatto un errore nell ' impostazione dell'inversa scambiando righe per colonne.
Ti ringrazio ancora per il tuo tempo..
Ti ringrazio ancora per il tuo tempo..
Ho fatto il calcolo e anche a me è venuto il risultato sbagliato, nel senso che mi è venuta la seconda colonna moltiplicata per 2.
Mi sono però accorto che il problema è nel calcolo dell'inversa, infatti la moltiplicazione delle due matrici non è l'identità ma ha un 2 nella posizione centrale. La corretta inversa ha la seconda colonna divisa per 2.
Riguardando avevo semplicemente fatto un errore di calcolo.
Mi sono però accorto che il problema è nel calcolo dell'inversa, infatti la moltiplicazione delle due matrici non è l'identità ma ha un 2 nella posizione centrale. La corretta inversa ha la seconda colonna divisa per 2.
Riguardando avevo semplicemente fatto un errore di calcolo.
Il vero problema di quest' esame é mantenere alta l' attenzione in calcoli molto spesso elementari. Speriamo bene martedi ho lo scritto
Per la parte scritta senz’altro, ma vale un po’ per tutti gli esami del primo anno.
A dirla tutta fisica 1 é stata una mazzata per me , bella , ma tosta.
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