Matrice rappresentativa rispetto a base canonica
Salve a tutti,
ho un dubbio che è spuntato da un esercizio.
In questo esercizio ho una funzione lineare definita come
$ T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+2x_2+x_3-x_4,x_2+x_4,-x_1+2x_3+x_4,x_3) $
Devo calcolare $ M_B(T) $ rispetto alla base
$ B={(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)} $
Devo evidentemente utilizzare la formula
$ M_B(T)=M_C^BM_C(T)M_B^C $
Il primo passo è calcolarmi $ M_C(T) $ che è praticamente immediato
$ M_C(T)=[ ( 1 , 2 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , 0 , 1 ),( -1 , 0 , 2 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) ] $
Poi io calcolerei $ M_B^C $ , quindi calcolerei le immagini della base B e le impilerei nelle colonne della matrice, quindi:
$ M_B^C=[ ( 3 , 2 , 0 , -1 ),( 2 , 2 , 1 , 1 ),( 2 , 3 , 3 , 1 ),( 1 , 1 , 1 , 0 ) ] $
Ma il procedimento che avrei fatto io non è quello giusto perchè nella soluzione $ M_B^C $ è semplicemente una matrice che ha come colonne i vettori della base. In questo caso però non è una matrice rappresentativa, o sbaglio?
ho un dubbio che è spuntato da un esercizio.
In questo esercizio ho una funzione lineare definita come
$ T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+2x_2+x_3-x_4,x_2+x_4,-x_1+2x_3+x_4,x_3) $
Devo calcolare $ M_B(T) $ rispetto alla base
$ B={(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)} $
Devo evidentemente utilizzare la formula
$ M_B(T)=M_C^BM_C(T)M_B^C $
Il primo passo è calcolarmi $ M_C(T) $ che è praticamente immediato
$ M_C(T)=[ ( 1 , 2 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , 0 , 1 ),( -1 , 0 , 2 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) ] $
Poi io calcolerei $ M_B^C $ , quindi calcolerei le immagini della base B e le impilerei nelle colonne della matrice, quindi:
$ M_B^C=[ ( 3 , 2 , 0 , -1 ),( 2 , 2 , 1 , 1 ),( 2 , 3 , 3 , 1 ),( 1 , 1 , 1 , 0 ) ] $
Ma il procedimento che avrei fatto io non è quello giusto perchè nella soluzione $ M_B^C $ è semplicemente una matrice che ha come colonne i vettori della base. In questo caso però non è una matrice rappresentativa, o sbaglio?
Risposte
uhm la matrice $M_(B)^(C)$ non è quella rappresentativa, ma la matrice che fa il passaggio dalla base B alla canonica C, ed è formata dai vettori che formano B messi in colonna.
per la matrice rappresentativa mi sembra che basti che trovi le immagini dei vettori di B tramite la funzione, li disponi come colonne e sei apposto.
per la matrice rappresentativa mi sembra che basti che trovi le immagini dei vettori di B tramite la funzione, li disponi come colonne e sei apposto.
Magari è una domanda stupida ma come faccio a distinguere una rappresentativa da una di "transizione"? E un'altra cosa: quella che fa il passaggio, che credo si chiami di transizione, come la posso calcolare se la seconda base è diversa da quella canonica? Immagino esprimendo i vettori della prima come combinazioni lineari della seconda, giusto?
quelle di passaggio una la riconosci facilmente perchè è formata dai vettori della base, che conosci. la rappresentativa la calcoli con un prodotto.
data una base B la matrice che effettua il passaggio dalla base B (che chiamo $M_B$) all'altra base è la matrice che ha come colonne i vettori che formano B; la matrice che invece effettua il passaggio contrario, e che quindi fa passare dall'altra base alla base B, è l'inversa di $M_B$.
data una base B la matrice che effettua il passaggio dalla base B (che chiamo $M_B$) all'altra base è la matrice che ha come colonne i vettori che formano B; la matrice che invece effettua il passaggio contrario, e che quindi fa passare dall'altra base alla base B, è l'inversa di $M_B$.
Grazie!
Prima cosa che non capisco è la relazione tra le due basi nella matrice di transizione.
Se dovessi fare il passaggio da matrice A a matrice B, e nessuna delle due è canonica, come dovrei operare?
Ultima cosa: siccome sia la matrice rappresentativa che quella di transizione possono essere scritte come $ M_A^B $ ,come faccio a capire quando si intende una e quando l'altra?
Prima cosa che non capisco è la relazione tra le due basi nella matrice di transizione.
Se dovessi fare il passaggio da matrice A a matrice B, e nessuna delle due è canonica, come dovrei operare?
Ultima cosa: siccome sia la matrice rappresentativa che quella di transizione possono essere scritte come $ M_A^B $ ,come faccio a capire quando si intende una e quando l'altra?
sulle notazioni faccio sempre un casino allucinante per questo uso i nomi per esteso ed il loro significato! dipende anche molto dal professore la notazione.
hai ragione mi hai chiesto per una generica base. devo smetterla di rispondere a quest'ora, fa male e creo confusione!
allora:
1. scrivi i vettori della base A come combinazione lineare dei vettori della base B
2. i coefficienti messi come colonne formano la matrice di passaggio da A a B
3. scrivi i vettori della base B come combinazione lineare dei vettori di A
4. fai come nel punto 2 formando così la matrice di passaggio dalla base B ad A.
scusami ancora se ho creato un po' di confusione!
"maluz":
Se dovessi fare il passaggio da matrice A a matrice B, e nessuna delle due è canonica, come dovrei operare?
hai ragione mi hai chiesto per una generica base. devo smetterla di rispondere a quest'ora, fa male e creo confusione!
allora:
1. scrivi i vettori della base A come combinazione lineare dei vettori della base B
2. i coefficienti messi come colonne formano la matrice di passaggio da A a B
3. scrivi i vettori della base B come combinazione lineare dei vettori di A
4. fai come nel punto 2 formando così la matrice di passaggio dalla base B ad A.
scusami ancora se ho creato un po' di confusione!
Altro che confusione, ora credo di aver capito! ti ringrazio molto 
Credo che nel 4° punto intendessi "fai come nel punto 2", comunque tutto chiaro.
Grazie ancora!
Credo che nel 4° punto intendessi "fai come nel punto 2", comunque tutto chiaro.
Grazie ancora!
"maluz":
Credo che nel 4° punto intendessi "fai come nel punto 2", comunque tutto chiaro
omamma sempre peggio! adesso correggo.
"maluz":
Altro che confusione, ora credo di aver capito! ti ringrazio molto
bene ne sono felice!
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