Matrice rappresentativa di una applicazione lineare

[Ranius1]

Ho letto più volte lo splendido lavoro di Sergio, ma purtroppo non riesco ancora a capire come svolgere il seguente esercizio:

Data una applicazione lineare $f:RR^3->RR^2, f(x,y,z)=(-x, y-z)$, trovare la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi ${(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0,  0)}$ di $RR^3$ e ${(1, 1), (1, 0)}$ di $RR^2$.

Innanzitutto mi sono scritto la matrice rappresentativa:

$A=((-1,0,0),(0,1,-1))$

Dopodiché ho cercato come venivano trasformati vettori della base canonica di $RR^3$ dall'applicazione, ottenedo:

$f(e_1)= ((-1,0,0),(0,1,-1))((1),(0),(0))=((-1),(0))$
$f(e_2)= ((-1,0,0),(0,1,-1))((0),(1),(0))=((0),(1))$
$f(e_2)= ((-1,0,0),(0,1,-1))((0),(0),(1))=((0),(-1))$

che non è altro che quanto già sapessi dalla matrice rappresentativa!
A questo punto mi sono bloccato sopratutto perchè credo che il mio procedimento sia errato fin dalla partenza.
Potreste indicarmi dove sbaglio?

Grazie

[mistake89]

determina le immagini dei tuoi vettori di base e scrivile nella base di $RR^2$ assegnata...
Ti faccio il primo vettore e poi continua tu scoprirai che è semplicissimo:

$f(1,1,1)=(-1,0)=a(1,1)+b(1,0)$ è evidente che le componenti sono $a=0,b=-1$ pertanto la prima colonna della nostra matrice sarà $((0),(-1))$

Ciao

[Ranius1]

Grazie mistake89 per la risposta.

Vi chiedo di controllare se sono corretti questi passaggi:

per cui gli altri saranno:

$f(1,1,0)=(0,1)=a(1,1)+b(1,0) --> a=1, b=-1$ per cui $((1),(-1))$

$f(1,0,0)=(0,-1)=a(1,1)+b(1,0) --> a=-1, b=1$ per cui $((-1),(1))$

quindi la matrice sarà

$((0,1,-1),(-1,-1,1))$

corretto?

grazie

[mistake89]

a me risulta $f(1,1,0)=(-1,1)$ ed $f(1,0,0)=(-1,0)$

[Ranius1]

ho capito il mio errore: ho preso come immagini delle nuove basi le immagini delle vecchie.

ti ringrazio