Matrice rappresentativa dei polinomi

[Aletzunny1]

Data $f$ applicazione lineare da $CC3[x]->CC3[x]$ determinare la matrice rappresentativa rispetto alla base canonica $B={1,x,x^2,x^3}$

$f(p)(x)=(a3+a2+a1)x^3+(a2+a1+a0)x^2+(a3+a1+a0)x +(a3+a2+2a1+2a0)$

Non ho capito molto bene come la parte iniziale dell'esercizio sia stata risolta.
Posto
$p(x)=a3x^3+a2x^2+a1x+a0$ perché per ogni vettore della base $B$ devo fare
$1=a3x^3+a2x^2+a1x+a0$ da cui si deduce che $a1=a2=a3=0$ e $a0=1$ per poi applicare $f(1)$?

$f(1)=x^2+x+2$ e quindi i primi coefficienti della matrice sono $(2,1,1,0)$

Grazie

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Lo spazio vettoriale dei polinomi $CC_3[x]$ è isomorfo allo spazio vettoriale $CC^4$ e io farei in questo modo.

L'isomorfismo è quello canonico $a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3to(a_0,a_1,a_2,a_3)$, quindi l'esercizio diventa trovare la matrice che rappresenta $F$ rispetto alla seguente base:
$(1,0,0,0), (0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$

con $F(a_0,a_1,a_2,a_3)=(a_3+a_2+2a_1+2a_0, a_3+a_1+a_0, a_2+a_1+a_0, a_3+a_2+a_1 ) $

$F(1,0,0,0)=(2,1,1,0)$

$F(0,1,0,0)=(2,1,1,1)$

$F(0,0,1,0)=(1,0,1,1)$

$F(0,0,0,1)=(1,1,0,1)$


La matrice è la seguente $M_F=((2,2,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0),(0,1,1,1))$

[Aletzunny1]

Grazie per questa strategia... però continuo a non capire il metodo utilizzato in classe

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"Aletzunny":Grazie per questa strategia... però continuo a non capire il metodo utilizzato in classe

Per determinare la matrice che rappresenta $f$ rispetto alla base $B={1,x,x^2,x^3}$ bisogna farsi guidare dalla teoria studiata, dobbiamo trovare i trasformati dei vettori della base e successivamente le componenti rispetto alla base $B$.

$f(1)=f(0x^3+0x^2+0x+1)=(0+0+0)x^3+(0+0+1)x^2+(0+0+1)x+(0+0+0+2)1=x^2+x+2$

A questo punto ci chiediamo quali sono le componenti del vettore $x^2+x+2$ rispetto alla base $B={1,x,x^2,x^3}$. Mi sembra ovvio che siano $(2,1,1,0)$ perchè $2\cdot1+1\cdotx+1\cdotx^2+0\cdotx^3=x^2+x+2$. Quindi $(2,1,1,0)$ sarà la prima colonna.



$f(x)=f(0x^3+0x^2+1x+0)=(0+0+1)x^3+(0+1+0)x^2+(0+1+0)x+(0+0+2+0)1=x^3+x^2+x+2$

A questo punto ci chiediamo quali sono le componenti del vettore $x^3+x^2+x+2$ rispetto alla base $B={1,x,x^2,x^3}$. Mi sembra ovvio che siano $(2,1,1,1)$ perchè $2\cdot1+1\cdotx+1\cdotx^2+1\cdotx^3=x^3+x^2+x+2$. Quindi $(2,1,1,1)$ sarà la seconda colonna.


$f(x^2)=f(0x^3+1x^2+0x+0)=(0+1+0)x^3+(1+0+0)x^2+(0+0+0)x+(0+1+0+0)1=x^3+x^2+1$

A questo punto ci chiediamo quali sono le componenti del vettore $x^3+x^2+1$ rispetto alla base $B={1,x,x^2,x^3}$. Mi sembra ovvio che siano $(1,0,1,1)$ perchè $1\cdot1+0\cdotx+1\cdotx^2+1\cdotx^3=x^3+x^2+1$. Quindi $(1,0,1,1)$ sarà la terza colonna.


$f(x^3)=f(1x^3+0x^2+0x+0)=(1+0+0)x^3+(0+0+0)x^2+(1+0+0)x+(1+0+0+0)1=x^3+x+1$

A questo punto ci chiediamo quali sono le componenti del vettore $x^3+x+1$ rispetto alla base $B={1,x,x^2,x^3}$. Mi sembra ovvio che siano $(1,1,0,1)$ perchè $1\cdot1+1\cdotx+0\cdotx^2+1\cdotx^3=x^3+x+1$. Quindi $(1,1,0,1)$ sarà la quarta colonna.


Spero di essere stato chiaro.

[Aletzunny1]

Allora sulla parte di chiedersi quali sono le componenti del vettore $x^3+x+1$ rispetto alla base $B={1,x,x^2,x^3}$ ci sono e ho capito...

Quello che invece non mi è chiaro perché non ne ho mai sentito parlare è l'argomento dei trasformati. Di cosa si tratta e come agiscono?
Grazie

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"Aletzunny":Allora sulla parte di chiedersi quali sono le componenti del vettore $x^3+x+1$ rispetto alla base $B={1,x,x^2,x^3}$ ci sono e ho capito...

Quello che invece non mi è chiaro perché non ne ho mai sentito parlare è l'argomento dei trasformati. Di cosa si tratta e come agiscono?
Grazie

Se $f:VtoV$ è un endomorfismo, con $V$ spazio vettoriale di dimensione $n$. Fissata una base ordinata $B={v_1,v_2,.....,v_n}$ per determinare la matrice $A_f$ che rappresenta $f$ rispetto alla base $B$ si procede nel seguente modo:

Determino $f(v_1)$ che è un vettore di $V$, esso avrà delle componenti rispetto alla base $B$ e con tali componenti costruisco la prima colonna di $A_f$.

Determino $f(v_2)$ che è un vettore di $V$, esso avrà delle componenti rispetto alla base $B$ e con tali componenti costruisco la seconda colonna di $A_f$.


........



Determino $f(v_n)$ che è un vettore di $V$, esso avrà delle componenti rispetto alla base $B$ e con tali componenti costruisco la $n-esima$ colonna di $A_f$.


Così si costruisce la matrice $A_f$ c'è poco da dire su come si costruisce e tanto da dire sulle sue proprietà.

Si costruisce così!!!

[Aletzunny1]

Si ok così mi è chiaro! Devo fissare le idee per il caso dei polinomi

Grazie mille