Matrice rappresentativa da base kernel.
Salve a tutti, ho un esercizio che chiede di calcolare la matrice rappresentativa rispetto alla base canonica. I dati sono:
L'operatore \(\displaystyle f:R^{3} \rightarrow R^{3} \) possiede il vettore \(\displaystyle (1,-1,2) \) come autovettore relativo all'autovalore \(\displaystyle \lambda = -1 \) , e ha il nucleo generato dai vettori \(\displaystyle (1,0,3),(-2,3,0),(-1,3,3),(-2,6,6) \).
Nello svolgimento dice che prende una base \(\displaystyle B = { (1,0,3),(-2,3,0),(1,-1,2) } \) dicendo che i primi due vettori formano una base del nucleo. Poi scrive la matrice:
\(\displaystyle M^{B}_{E} (f) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 &-2\end{bmatrix}\)
Dove E è la base canonica. Non riesco a capire come forma questa matrice. In praticolare: in che modo dovrei utilizzare i dati che mi da, per formale la matrice?
Dopo aver capito come viene formata questa matrice, riesco a calcolare la matrice rappresentatva in questo modo:
\(\displaystyle M^{E}_{E} (f) = M^{B}_{E} (f) * M^{E}_{B} (idR^{3}) \)
Dove \(\displaystyle M^{E}_{B} (idR^{3}) = M^{B}_{E} (idR^{3})^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 3 & 0 &2\end{bmatrix}^{-1} \)
Grazie delle eventuali risposte.
L'operatore \(\displaystyle f:R^{3} \rightarrow R^{3} \) possiede il vettore \(\displaystyle (1,-1,2) \) come autovettore relativo all'autovalore \(\displaystyle \lambda = -1 \) , e ha il nucleo generato dai vettori \(\displaystyle (1,0,3),(-2,3,0),(-1,3,3),(-2,6,6) \).
Nello svolgimento dice che prende una base \(\displaystyle B = { (1,0,3),(-2,3,0),(1,-1,2) } \) dicendo che i primi due vettori formano una base del nucleo. Poi scrive la matrice:
\(\displaystyle M^{B}_{E} (f) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 &-2\end{bmatrix}\)
Dove E è la base canonica. Non riesco a capire come forma questa matrice. In praticolare: in che modo dovrei utilizzare i dati che mi da, per formale la matrice?
Dopo aver capito come viene formata questa matrice, riesco a calcolare la matrice rappresentatva in questo modo:
\(\displaystyle M^{E}_{E} (f) = M^{B}_{E} (f) * M^{E}_{B} (idR^{3}) \)
Dove \(\displaystyle M^{E}_{B} (idR^{3}) = M^{B}_{E} (idR^{3})^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 3 & 0 &2\end{bmatrix}^{-1} \)
Grazie delle eventuali risposte.
Risposte
Ciao Escher, eccoti la mia soluzione:
la teoria afferma che la matrice rappresentativa della trasformazione lineare si ottiene ponendo in colonna le coordinate
delle immagini dei vettori della base di partenza, espresse nella base di arrivo.
Ora la base di partenza ( B ) comprende:
- due vettori del nucleo, la cui immagine è il vettore nullo: f(1,0,3)= (0,0,0) ; f(-2,3,0) = (0,0,0)
- un autovettore la cui immagine è proporzionale per l' autovalore " -1 " : f(1,-1,2) = ( -1,1,-2)
Queste tre immagini sono appunto le colonne della matrice.
la teoria afferma che la matrice rappresentativa della trasformazione lineare si ottiene ponendo in colonna le coordinate
delle immagini dei vettori della base di partenza, espresse nella base di arrivo.
Ora la base di partenza ( B ) comprende:
- due vettori del nucleo, la cui immagine è il vettore nullo: f(1,0,3)= (0,0,0) ; f(-2,3,0) = (0,0,0)
- un autovettore la cui immagine è proporzionale per l' autovalore " -1 " : f(1,-1,2) = ( -1,1,-2)
Queste tre immagini sono appunto le colonne della matrice.
Grazie della risposta. Volevo chiederti ancora:
L'immagine di un vettore del nucleo per la teoria fa (0,0,0) ? Perchè qui non ho un'applicazione lineare, non posso sostituire i valori (x,y,z,...) del vettore all'applicazione.
Perchè sceglie proprio quei due vettori del nucleo? Forse perchè gli altri due sono sovrabbondanti?
Grazie ancora.
L'immagine di un vettore del nucleo per la teoria fa (0,0,0) ? Perchè qui non ho un'applicazione lineare, non posso sostituire i valori (x,y,z,...) del vettore all'applicazione.
Perchè sceglie proprio quei due vettori del nucleo? Forse perchè gli altri due sono sovrabbondanti?
Grazie ancora.
Certamente, l' immagine di tutti i vettori del nucleo è, per definizione, il vettore nullo.
Scusami, ma non capisco il significato della frase che segue;" Perché qui non ho un'applicazione lineare, non posso
sostituire i valori (x,y...) del vettore all'applicazione."
Per l'ultimo punto che chiedi,nell'esercizio vengono scelti quei due vettori del nucleo perché:
- nell'insieme dei quattro generatori dati per il nucleo, sono un gruppo massimale linearmente indipendente, quindi
formano una base.
Scusami, ma non capisco il significato della frase che segue;" Perché qui non ho un'applicazione lineare, non posso
sostituire i valori (x,y...) del vettore all'applicazione."
Per l'ultimo punto che chiedi,nell'esercizio vengono scelti quei due vettori del nucleo perché:
- nell'insieme dei quattro generatori dati per il nucleo, sono un gruppo massimale linearmente indipendente, quindi
formano una base.
Grazie mille, hai chiarito i miei dubbi 
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