Matrice rappresentativa

[cowgirl_from_hell]

Sia $T: R^4 -> R^3$ l'app. lineare rappresentata, rispetto alla base canonica, dalla seguente matrice:

$A = ((1,0,0,3),(0, 2, 1,0),(2,3,0, a))$ con $ a in R $

Determinare il valore di a tale che il vettore (3,0,0,-1) appartenga al nucleo ker.

Allora.. le colonne della matrice rappresentativa dovrebbero essere le componenti delle immagini dei vettori di quale base rispetto alla base canonica? uhm
Partiamo da questo punto.. eheh

[ciampax]

Se $A$ è la rappresentazione di un omomorfismo $f$ allora vale $f(v)=Av$, per ogni vettore $v$. Quindi...

[cowgirl_from_hell]

"ciampax":Se $A$ è la rappresentazione di un omomorfismo $f$ allora vale $f(v)=Av$, per ogni vettore $v$. Quindi...

quindi $Im(f) = Av$ ?

[ciampax]

Sì, anche, ma in particolare per risolvere il tuo esercizio questo cosa ti dice?

[cowgirl_from_hell]

"ciampax":Sì, anche, ma in particolare per risolvere il tuo esercizio questo cosa ti dice?

che posso esprimere i vettori della base canonica di $R^3$ come combinazione lineare delle colonne della matrice?

[mistake89]

Ricordati che devi imporre che $f(v)=0$

[cowgirl_from_hell]

"mistake89":Ricordati che devi imporre che $f(v)=0$

questo per trovare il nucleo no?? io non capisco il passaggio precedente a quanto pare ahah

[mistake89]

Noi abbiamo un vettore $v=(3,0,0,-1)$. E ci si chiede quando $f(v)=Av=0$?
Facendo quel calcolo otterrai un vettore che dipende da $a$; pertanto risolvendo l'equazione nell'incognita $a$ avrai risolto l'esercizio

[cowgirl_from_hell]

"mistake89":Noi abbiamo un vettore $v=(3,0,0,-1)$. E ci si chiede quando $f(v)=Av=0$?
Facendo quel calcolo otterrai un vettore che dipende da $a$; pertanto risolvendo l'equazione nell'incognita $a$ avrai risolto l'esercizio

Ecco ciò che non riesco a svolgere è proprio quel calcolo xD cioè devo "estrarre" dalla matr. rappresentativa le eq. dell'applicazione o opero direttamente tramite il prodotto $Av$ ?

Se anche fosse giusta la seconda possibilità, come posso ottenere l'eq di un'applicazione a partire da:
1. La matrice rappresentativa
2. Applicazione espressa in forma numerica (es. $f: R^3->R^3 t.c. f(2,1,0) = (3,4,5)$.. sono numeri scritti a caso eh! ahahah)

[mistake89]

Puoi fare in entrambi i modi. E' del tutto equivalente.

Quanto alla tua seconda domanda, la risposta è nella definizione di matrice associata, prova a leggerla per bene e prova tu a risolvere la questione. Se non capisci qualcosa ti aiutiamo

[ciampax]

Grazie mistake per aver continuato la spiegazione!

[cowgirl_from_hell]

"mistake89":Puoi fare in entrambi i modi. E' del tutto equivalente.

Quanto alla tua seconda domanda, la risposta è nella definizione di matrice associata, prova a leggerla per bene e prova tu a risolvere la questione. Se non capisci qualcosa ti aiutiamo

allora la matrice associata ha come elementi delle colonne le componenti delle immagini dei vettori (che in questo caso sono espressi rispetto alle basi canoniche):

EDIT: posso ottenere l'equazione effettuando il prodotto A(vettore generico) ?

[mistake89]

Esatto basta fare la moltiplicazione (essendo $A$ espressa rispetto alle basi canoniche!)

[cowgirl_from_hell]

"mistake89":Esatto basta fare la moltiplicazione (essendo $A$ espressa rispetto alle basi canoniche!)

beneeee

quindi prendendo ad la seguente matrice espressa rispetto alle basi canoniche:

$A=((1,0,0,3),(0,2,1,0),(2,3,0,6))$ e moltiplicandola per il vettore generico $v = ((x),(y),(z),(t))$ ottengo il seguente risultato..

$f(x,y,z,t) = (x+3t, 2y+z, 2x+3y+6t)$

se hai tempo potresti confermare?? grazie mille



EDIT: e se la matrice NON è espressa rispetto alle basi canoniche?

[mistake89]

Mi sembra tutto giusto.

Se la matrice non è associata alle basi canoniche o ti ci puoi riportare, oppure puoi scrivere esplicitamente come opera $f$ su queste nuove basi e, col il metodo che ti è stato fatto vedere in un altro post, ricondurti ad una matrice associate alle basi canoniche.

Bada bene che cambia matrice, non $f$, quella rimane sempre fissa. E questo evidenzia ancora di più come la matrice lavori con le componenti e non con le immagini dei vettori!