Matrice quadrata tale che A^2=A
L'esercizio consiste nel trovare una matrice quadrata tale che A^2=A, con A=I (matrice diagonale) e A=0. Una tale matrice ha det(A)$!=$0?
Sono riuscito a risolverlo nel caso di una matrice 2x2:
$((x,y),(z,t))*((x,y),(z,t))=((x,y),(z,t))$
$((x^2+yz,xy+yt),(xz+zt,yz+t^2))$
Con i dovuti calcoli ottengo:
$x=1-t$
$y=(t-t^2)/z$
Quindi la matrice ottenuta è:
$((1-t,(t-t^2)/z),(z,t))$
E ne posso ottenere una qualsiasi ponendo per esempio z=1(z=0 è impossibile) e t=0.
Dopodiché, per rispondere alla seconda domanda, se il determinante fosse diverso da 0, esisterebbe la matrice inversa $A^-1$. Moltiplicando a sinistra ambo i membri dell'equazione $A^2=A$ per la matrice inversa, ottengo, dopo i dovuti calcoli, A=I, contro l'ipotesi iniziale, quindi una tale matrice avrà sempre det(A)=0.
La mia domanda è quindi: la seconda domanda è risposta in un caso generale, mentre la prima è solo nel caso di una matrice 2x2. Come si potrebbe estendere anche al caso nxn? Perché ho provato con lo stesso metodo a crearmi una matrice 3x3, ma i conti non vengono per niente agevoli. Esiste qualche modo per trovarsi questa matrice? Grazie mille
Sono riuscito a risolverlo nel caso di una matrice 2x2:
$((x,y),(z,t))*((x,y),(z,t))=((x,y),(z,t))$
$((x^2+yz,xy+yt),(xz+zt,yz+t^2))$
Con i dovuti calcoli ottengo:
$x=1-t$
$y=(t-t^2)/z$
Quindi la matrice ottenuta è:
$((1-t,(t-t^2)/z),(z,t))$
E ne posso ottenere una qualsiasi ponendo per esempio z=1(z=0 è impossibile) e t=0.
Dopodiché, per rispondere alla seconda domanda, se il determinante fosse diverso da 0, esisterebbe la matrice inversa $A^-1$. Moltiplicando a sinistra ambo i membri dell'equazione $A^2=A$ per la matrice inversa, ottengo, dopo i dovuti calcoli, A=I, contro l'ipotesi iniziale, quindi una tale matrice avrà sempre det(A)=0.
La mia domanda è quindi: la seconda domanda è risposta in un caso generale, mentre la prima è solo nel caso di una matrice 2x2. Come si potrebbe estendere anche al caso nxn? Perché ho provato con lo stesso metodo a crearmi una matrice 3x3, ma i conti non vengono per niente agevoli. Esiste qualche modo per trovarsi questa matrice? Grazie mille
Risposte
basterebbe scegliere \(A\) come la matrice che rappresenta la proiezione ortogonale di \(\mathbb{R}^n\) su un sottospazio vettoriale di dimensione \(1\)!
"Fabiobreo":
L'esercizio consiste nel trovare una matrice quadrata tale che A^2=A
Una matrice quadrata che soddisfa questa proprietà si dice idempotente.
Lavorando sulla definizione, hai
\[ A^2 = A \qquad \rightarrow \qquad A^2-A=O \qquad \rightarrow \qquad A(A-I)=O \]
Quindi le matrici $ I $ e $ O $ sono sicuramente idempotenti.
Poiché non vale la legge di annullamento del prodotto, tali matrici non sono le uniche ad essere idempotenti.
D'altronde, se $ A $ è invertibile, senza dubbio $ A = I $. Quindi la matrice identica è l'unica matrice idempotente invertibile.
ok, ma a me servirebbe un modo per poter scrivere una matrice nxn che rispetti quella proprietà!
j18eos...cosa dovrei fare quindi?
j18eos...cosa dovrei fare quindi?
Fabiobreo, tu cosa stai chiedendo esattamente?
Dovrei trovare una matrice quadrata che soddisfi le richieste sopra, dove UNA si intende una matrice generale....io l'ho trovata nel caso matrice 2x2, dovrei trovarlo nel caso nxn!
Ti dò un suggerimento: prendi la matrice $A in ccM_{n times n}$ i cui elementi sono tutti uguali a $1$.
Quanto viene $A^2$?
Quanto viene $A^2$?
Un matrice con tutti gli elementi pari a n!scusa, ma non vedo il nesso 
Dunque $A^2 = n *A$.
Direi allora che $B= 1/n * A$ fa al caso nostro
Direi allora che $B= 1/n * A$ fa al caso nostro
"Fabiobreo":
L'esercizio consiste nel trovare una matrice quadrata tale che A^2=A, con A=I (matrice diagonale) e A=0. Una tale matrice ha det(A)$!=$0
Quindi tu vuoi una matrice idempotente e invertibile?
no, ho dimostrato che non può essere invertibile, avevo scritto la domanda senza mettere il punto di domanda alla fine!mi serve una matrice idempotente non invertibile!
Ti do una fonte di ispirazione: sappi che la matrice
\[ \pmatrix{1 & 1 \\ 0 & 0} \]
è idempotente.
\[ \pmatrix{1 & 1 \\ 0 & 0} \]
è idempotente.
Se non sai di cosa parlo puoi lasciar stare! 
ok, ho capito quindi che tutte le matrici che hanno una colonna o una riga di tutti zeri sono idempotenti e come servono a me 
"Fabiobreo":
ok, ho capito quindi che tutte le matrici che hanno una colonna o una riga di tutti zeri sono idempotenti e come servono a me
La matrice
\[ \pmatrix{2 & 2 \\ 0 & 0} \]
Ha una riga nulla ma non è idempotente.
dimenticavo di scrivere con tutti 1
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ e sia $f:V\rightarrow V$
un'applicazione lineare tale che $f^2=f$. Allora ogni matrice rappresentativa $A$ di $f$
soddisfa $A^2=A$. Viceversa, ogni matrice quadrata $A$ tale che $A^2=A$ si puo'
interpretare in questa maniera.
Dal fatto che $f^2=f$ segue facilmente che $V$ e' prodotto diretto di
$ker(f)$ con $im(f)$. La restrizione di $f$ a $ker(f)$ e' zero mentre la restrizione
di $f$ a $im(f)$ e' l'identita'. Prendendo come base una base di $ker(f)$ unione
una base di $im(f)$, la matrice rappresentativa $A$ di $f$ ha quindi la forma
$((0,0),(0,E))$
dove $E$ e' la matrice identita' $d\times d$ con $d=dim(im(f))$ e gli zeri
indicano matrici nulle. Per esempio, per $n=5$ e $d=3$ si tratta della matrice
$((0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1))$.
Quindi, a meno di un cambiamento di base, ogni matrice quadrata $A$ tale che $A^2=A$
ha questa forma. I casi estremi $d=0$ e $d=n$ corrispondono rispettivamente
alla matrice nulla e la matrice identita'.
un'applicazione lineare tale che $f^2=f$. Allora ogni matrice rappresentativa $A$ di $f$
soddisfa $A^2=A$. Viceversa, ogni matrice quadrata $A$ tale che $A^2=A$ si puo'
interpretare in questa maniera.
Dal fatto che $f^2=f$ segue facilmente che $V$ e' prodotto diretto di
$ker(f)$ con $im(f)$. La restrizione di $f$ a $ker(f)$ e' zero mentre la restrizione
di $f$ a $im(f)$ e' l'identita'. Prendendo come base una base di $ker(f)$ unione
una base di $im(f)$, la matrice rappresentativa $A$ di $f$ ha quindi la forma
$((0,0),(0,E))$
dove $E$ e' la matrice identita' $d\times d$ con $d=dim(im(f))$ e gli zeri
indicano matrici nulle. Per esempio, per $n=5$ e $d=3$ si tratta della matrice
$((0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1))$.
Quindi, a meno di un cambiamento di base, ogni matrice quadrata $A$ tale che $A^2=A$
ha questa forma. I casi estremi $d=0$ e $d=n$ corrispondono rispettivamente
alla matrice nulla e la matrice identita'.
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