Matrice quadrata di ordine 3 con 4 autovalori?
è possibile che una matrice quadrata di ordine 3 abbia come autovalori 4 interi?
Io ho ragionato in questo modo:
Gli autovalori, si possono ottenere svolgendo la seguente espressione:
$ PAP^-1=D $ Dove D è la matrice diagonale che ha appunto per diagonale i rispettivi autovalori della matrice di partenza. Se la matrice di partenza è 3x3, è ovvio che alla fine troveremo nella matrice diagonale 3 autovalori.
Se non è così, come posso dare una risposta esauriente?
Io ho ragionato in questo modo:
Gli autovalori, si possono ottenere svolgendo la seguente espressione:
$ PAP^-1=D $ Dove D è la matrice diagonale che ha appunto per diagonale i rispettivi autovalori della matrice di partenza. Se la matrice di partenza è 3x3, è ovvio che alla fine troveremo nella matrice diagonale 3 autovalori.
Se non è così, come posso dare una risposta esauriente?
Risposte
Cosa sono gli autovalori di una matrice? Gli zeri del suo polinomio caratteristico.
Che grado ha il polinomio caratteristico di una matrice [tex]n \times n[/tex]? Ha grado [tex]n[/tex].
Quanti sono, al massimo gli zeri di un polinomio di grad [tex]n[/tex] a coefficienti in un campo? Beh, a questa lascio rispondere te...
Che grado ha il polinomio caratteristico di una matrice [tex]n \times n[/tex]? Ha grado [tex]n[/tex].
Quanti sono, al massimo gli zeri di un polinomio di grad [tex]n[/tex] a coefficienti in un campo? Beh, a questa lascio rispondere te...
$ al più n $ ???
Si e no. Penso che l'affermazione che gli autovalori formino sottospazi linearmente indipendenti e che in $RR^3$ non esistono 4 sottospazi indipendenti sia migliore. La tua inoltre dà per scontato che la matrice sia diagonalizzabile.
si ma se ho una matrice di ordine 3, sicuramente non posso avere 4 autovalori e la prima cosa che mi è venuta in mente è il metodo della matrice diagonale $ D $, comunque quel prodotto tra matrici restituisce una matrice 3x3 che ha 3 valori in diagonale. Per è giusto quello che dici, se la diagonale di D, ha valori tutti reali significa che A è diagonalizzabile(ma non sempre è così ovviamente). Quindi per dare una spiegazione più giusta, dovrei dire che non possono esistere più di n(nel nostro caso 3) autospazi??? va bene?
"vict85":
Si e no. Penso che l'affermazione che gli autovalori formino sottospazi linearmente indipendenti e che in $RR^3$ non esistono 4 sottospazi indipendenti sia migliore. La tua inoltre dà per scontato che la matrice sia diagonalizzabile.
Ok che chi conosce già l'algebra lineare capisce senz'altro che cosa vuoi dire... Ma gli autovalori non formano di certo sottospazi! E poi due sottospazi sono indipendenti quando...? Immagino che la risposta sia "sono in somma diretta", però è una terminologia che non ho mai sentito utilizzare...
@gaten: comunque sì, la risposta è [tex]n[/tex]. A questo punto la conclusione è naturale, no? La soluzione di vict85 è altrettanto efficace, ma dà un'interpretazione più geometrica di cosa sta succedendo...
P.S. Ecco, ho visto adesso la risposta di gaten. Quello che voleva dire vict85 è questo:
- 1. autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti;
2. in [tex]\mathbb R^3[/tex] non possono esserci più di tre vettori linearmente indipendenti.
[/list:u:2wqjuj63]
da cui la conclusione.
"gaten":va bene quello che ho scritto?
si ma se ho una matrice di ordine 3, sicuramente non posso avere 4 autovalori e la prima cosa che mi è venuta in mente è il metodo della matrice diagonale $ D $, comunque quel prodotto tra matrici restituisce una matrice 3x3 che ha 3 valori in diagonale. Per è giusto quello che dici, se la diagonale di D, ha valori tutti reali significa che A è diagonalizzabile(ma non sempre è così ovviamente). Quindi per dare una spiegazione più giusta, dovrei dire che non possono esistere più di n(nel nostro caso 3) autospazi??? va bene?
Ad essere sincero, non capisco granché di quello che hai scritto, perché non ha moltissimo senso logico.
L'argomentazione fornita da vict85 è quella più vicina alla tua, comunque. Se guardi il post-scriptum del mio precedente messaggio l'ho riassunta in due passaggi che mi sembrano auto-esplicativi.
L'argomentazione fornita da vict85 è quella più vicina alla tua, comunque. Se guardi il post-scriptum del mio precedente messaggio l'ho riassunta in due passaggi che mi sembrano auto-esplicativi.
Perfetto ho capito quello che dice vict85, ma come associo questa conclusione alla mia domanda? Io qui devo verificare che ad una matrice 3x3 non posso associare più di 3 autovalori, perchè?
Si la tua conclusione l'ho letta è la ritengo ottima, però vorrei capire anche quella di vict85, parla di autovettori.
Lo so che autovettori relativi ad autovalori distinti, sono linearmente dipendenti. Ma questo cosa c'entra con il fatto che una matrice di ordine 3 possa o non possa avere più di 3 autovalori?
Lo so che autovettori relativi ad autovalori distinti, sono linearmente dipendenti. Ma questo cosa c'entra con il fatto che una matrice di ordine 3 possa o non possa avere più di 3 autovalori?
Supponiamo che una matrice [tex]3\times 3[/tex] abbia [tex]4[/tex] autovalori. Per definizione, ogni autovalore ha almeno un autovettore associato. Quindi a quattro autovalori, corrisponderebbero almeno quattro autovettori. Questi dovrebbero essere linearmente indipendenti, ma in [tex]\mathbb R^3[/tex] quattro vettori sono sempre linearmente dipendenti. Assurdo!
Inoltre, maurer, una matrice di ordine 3, può avere meno di 3 autovalori?
"gaten":
Perfetto ho capito quello che dice vict85, ma come associo questa conclusione alla mia domanda? Io qui devo verificare che ad una matrice 3x3 non posso associare più di 3 autovalori, perchè?
Perché lo spazio vettoriale delle matrici 3x3 è isomorfo allo spazio vettoriale delle trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale reale di dimensione 3 in sé.
X maurer: si, l'ho scritto un po' velocemente.
Per quanto riguarda questa domanda basta prendere
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{matrix} \right)[/tex]
Gli autovalori sono [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex]... In questo caso il polinomio caratteristico è [tex](1-X)^2 (2- X)[/tex] e quindi [tex]1[/tex] ha molteplicità algebrica 2, sicché la somma degli autovalori con le rispettive molteplicità algebriche fa 3.
Questo non è il caso generale. Ad esempio la matrice
[tex]\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
ha polinomio caratteristico [tex]X^2 + 1[/tex] e quindi non ha autovalori reali.
Se, infine, ci mettiamo su un campo algebricamente chiuso, chiaramente la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori darà sempre la dimensione dello spazio in cui lavoriamo. Non è la stessa cosa per le molteplicità geometriche. Ad esempio
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right)[/tex]
non è diagonalizzabile neppure sui complessi e quindi la somma delle dimensioni degli autospazi (= le molteplicità geometriche) non darà 3...
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{matrix} \right)[/tex]
Gli autovalori sono [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex]... In questo caso il polinomio caratteristico è [tex](1-X)^2 (2- X)[/tex] e quindi [tex]1[/tex] ha molteplicità algebrica 2, sicché la somma degli autovalori con le rispettive molteplicità algebriche fa 3.
Questo non è il caso generale. Ad esempio la matrice
[tex]\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
ha polinomio caratteristico [tex]X^2 + 1[/tex] e quindi non ha autovalori reali.
Se, infine, ci mettiamo su un campo algebricamente chiuso, chiaramente la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori darà sempre la dimensione dello spazio in cui lavoriamo. Non è la stessa cosa per le molteplicità geometriche. Ad esempio
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right)[/tex]
non è diagonalizzabile neppure sui complessi e quindi la somma delle dimensioni degli autospazi (= le molteplicità geometriche) non darà 3...
"maurer":Ok ora mi è chiaro.
Supponiamo che una matrice [tex]3\times 3[/tex] abbia [tex]4[/tex] autovalori. Per definizione, ogni autovalore ha almeno un autovettore associato. Quindi a quattro autovalori, corrisponderebbero almeno quattro autovettori. Questi dovrebbero essere linearmente indipendenti, ma in [tex]\mathbb R^3[/tex] quattro vettori sono sempre linearmente dipendenti. Assurdo!
"maurer":
Per quanto riguarda questa domanda basta prendere
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ & 0 & 1 & 0 \\ & 0 & 0 & 2\end{matrix} \right)[/tex]
Gli autovalori sono [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex]...
ti ringrazio
"gaten":
Inoltre, maurer, una matrice di ordine 3, può avere meno di 3 autovalori?
Questo si vede meglio con il polinomio caratteristico. Un polinomio può avere radici non reali/complesse e quindi non ci sono 3 autovalori reali.
Quindi posso anche dire che la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori associati ad una matrice è sempre <= ad n?
Sì... e puoi anche dire che la molteplicità geometrica di un autovalore è minore o uguale a quella algebrica...
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