Matrice quadrata 2x2 soluzione

[Pashmina1]

Ciao a tutti, non riesco a capire come risolvere un esercizio molto semplice di algebra lineare, sto cercando di farmi uno scherma risolutivo "universale"...


$ Ax= | ( 4 , 8 ),( 2 , 4 ) | $

$ b= |(-4),(-2)| $

trovare la soluzione...

Senza saper nè leggere nè scrivere noto che non è crameriana perchè il determinante è =0, penso di dover usare il teorema di rouchè capelli ma non ho nessuna applicazione pratica su matrici così piccole, potreste mostrarmi i passaggi???


Vi ringrazio!

[vict85]

Il rango della matrice è 1 e quindi il sistema diventa una singola equazione in due variabili. Dividendo la prima per 4 (o la seconda per 2) si ha che \(\displaystyle x_0 + 2x_1 = -1 \) che diventa \(\displaystyle x_0 = -2x_1 -1 \). Non si può proseguire oltre.

[gugo82]

"Pashmina": $ Ax= | ( 4 , 8 ),( 2 , 4 ) | $

$ b= |(-4),(-2)| $

trovare la soluzione...

Innanzitutto, è solo \(A\) ad essere una matrice \(2\times 2\).
Il termine \(Ax\) non può essere una matrice, altrimenti l'uguaglianza \(Ax=b\) non sarebbe possibile (non si è mai visto che una matrice \(2\times 2\) possa essere uguale ad un vettore \(2\times 1\)).

Quindi, dicendo le cose per bene, vuoi risolvere il sistema lineare \(A\mathbf{x} =b\) in cui:
\[
A:=\begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\qquad \text{e} \qquad b=\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}\; ,
\]
sono matrice dei coefficienti e termini noti del sistema, ed \(\mathbf{x}=(x,y)\) denota il vettore delle incognite.

"Pashmina":Senza saper nè leggere nè scrivere noto che non è crameriana perchè il determinante è =0, penso di dover usare il teorema di rouchè capelli ma non ho nessuna applicazione pratica su matrici così piccole, potreste mostrarmi i passaggi???

Innanzitutto, che dice il teorema di Rouché-Capelli?
Ti dice come si fa a determinare le soluzioni di un sistema fornendoti una loro rappresentazione (come il teorema di Cramer)? Oppure ti dice solo sotto quali condizioni le soluzioni esistono o no (e, se esistono, ti dice quante sono)?
In altri termini, il teorema di Rouché-Capelli ti può servire a risolvere esplicitamente un sistema o no?

[Pashmina1]

No, ma non saprei come risolverlo, mi servirebbe capire da dove partire, sulle dispense è dato per scontato...