Matrice quadrata = 0 come si comporta
Buongiorno a tutti,
ho dato l'esame scritto di algebra lineare, ed era presente una domanda in cui richiedeva di dimostrare che se A^2 = 0 allora I + A è invertibile (dove ovviamente I è la matrice identità).
Ho risposto in modo sbagliato in quanto ho fatto l'esempio di una matrice A composta da tutti zeri e la correzione della prof mostrava che esistono anche altre matrici che se moltiplicate per se stesse danno 0.
Allora mi chiedo per quali matrici è valida questa regola? Come posso dimostrare ciò?
Dato che domani ho l'orale e chiede gli errori fatti nello scritto, se qualcuno conosce un buon modo di dimostrare questa cosa sarebbe fantastico.
Grazie a tutti.
ho dato l'esame scritto di algebra lineare, ed era presente una domanda in cui richiedeva di dimostrare che se A^2 = 0 allora I + A è invertibile (dove ovviamente I è la matrice identità).
Ho risposto in modo sbagliato in quanto ho fatto l'esempio di una matrice A composta da tutti zeri e la correzione della prof mostrava che esistono anche altre matrici che se moltiplicate per se stesse danno 0.
Allora mi chiedo per quali matrici è valida questa regola? Come posso dimostrare ciò?
Dato che domani ho l'orale e chiede gli errori fatti nello scritto, se qualcuno conosce un buon modo di dimostrare questa cosa sarebbe fantastico.
Grazie a tutti.
Risposte
fatti i calcoli
$((a, b),(c, d))*((a, b),(c, d))=((a^2+bc, b*(a+d)),(c*(a+d), bc+d^2))$
quindi
${(a^2+bc=0),(b*(a+d)=0),(c*(a+d)=0),(bc+d^2=0):}$
Ricavati le condizioni e poi calcola il determinante di
$((a+1, b),(c, d+1))$
$((a, b),(c, d))*((a, b),(c, d))=((a^2+bc, b*(a+d)),(c*(a+d), bc+d^2))$
quindi
${(a^2+bc=0),(b*(a+d)=0),(c*(a+d)=0),(bc+d^2=0):}$
Ricavati le condizioni e poi calcola il determinante di
$((a+1, b),(c, d+1))$
$(1+A)(1-A)=1$.