Matrice proiezione ortogonale, riflessione e rotazione
Salve a tutti!!!! ho ancora bisogno urgentemente del vostro aiuto...qualcuno mi spiega in modo molto generale come si fa per determinare la matrice di una proiezione ortogonale (ad esempio su un piano o su una retta)???
e quella di riflessione sempre riferita ad una retta o un piano???
e quella di rotazione attorno ad un piano o retta??
e come ultima cosa qualcuno mi dice anche come si fa per determinare i punti fissi cioè il FIX(\(\displaystyle \varphi \)), dove \(\displaystyle \varphi \) è la mia matrice di rotazione, di proiezione o di riflessione?
Nel mio libro (scritto dal professore -.-" purtroppo) non ci si capisce davvero niente!!
Vi prego qualcuno mi aiuti a capire come si fa, insomma un metodo generale per determinare questi tre tipi di matrici!
grazie in anticipo!!!
e quella di riflessione sempre riferita ad una retta o un piano???
e quella di rotazione attorno ad un piano o retta??
e come ultima cosa qualcuno mi dice anche come si fa per determinare i punti fissi cioè il FIX(\(\displaystyle \varphi \)), dove \(\displaystyle \varphi \) è la mia matrice di rotazione, di proiezione o di riflessione?
Nel mio libro (scritto dal professore -.-" purtroppo) non ci si capisce davvero niente!!
Vi prego qualcuno mi aiuti a capire come si fa, insomma un metodo generale per determinare questi tre tipi di matrici!
grazie in anticipo!!!
Risposte
Proiettare un vettore su una retta, un piano, un iperpiano significa semplicemente proiettarlo in un sottospazio $H$ di $V$. Quindi la procedura generale è quella di trovare una base di tale sottospazio $H$ e poi proiettare il vettore $\mathbf{v}$ su ogni vettore della base di $H$ e poi sommare tali vettori trovando il vettore $\mathbf{v_H}$ cercato.
Si può "automatizzare" questa procedura tramite una matrice di proiezione indicata con $P$ tale che $P\mathbf{v} = \mathbf{v_H}$. Nel caso generale (utilizzando il prodotto scalare standard) la matrice $P$ si costruisce così:
\[ P = A(A^TA)^{-1}A^T\]
Dove $A$ è la matrice che ha per colonne i vettori della base di $H$.
Nel caso in cui la base scelta sia ortonormale, la matrice $A$ sarà ortogonale e quindi $A^T = A^{-1}$ e quindi $A^TA = A^{-1}A = I$.
La matrice $P$ risulterà:
\[ P = AA^T = \mathbf{q_1}\mathbf{q_1}^T + \mathbf{q_2}\mathbf{q_2}^T + ... + \mathbf{q_n}\mathbf{q_n}^T \]
Dove i vettori $\mathbf{q_i}$ sono i vettori della base ortonormale.
Per quanto riguarda i punti fissi essi dovrebbero essere i vettori (punti) appartenenti agli autospazi dell'applicazione.
Si può "automatizzare" questa procedura tramite una matrice di proiezione indicata con $P$ tale che $P\mathbf{v} = \mathbf{v_H}$. Nel caso generale (utilizzando il prodotto scalare standard) la matrice $P$ si costruisce così:
\[ P = A(A^TA)^{-1}A^T\]
Dove $A$ è la matrice che ha per colonne i vettori della base di $H$.
Nel caso in cui la base scelta sia ortonormale, la matrice $A$ sarà ortogonale e quindi $A^T = A^{-1}$ e quindi $A^TA = A^{-1}A = I$.
La matrice $P$ risulterà:
\[ P = AA^T = \mathbf{q_1}\mathbf{q_1}^T + \mathbf{q_2}\mathbf{q_2}^T + ... + \mathbf{q_n}\mathbf{q_n}^T \]
Dove i vettori $\mathbf{q_i}$ sono i vettori della base ortonormale.
Per quanto riguarda i punti fissi essi dovrebbero essere i vettori (punti) appartenenti agli autospazi dell'applicazione.
e per quanto riguarda invece la matrice di riflessione e di rotazione??? come si fanno a determinare ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo