Matrice prima su $F_{q^t}$ e poi su $F_q$

[Mrhaha]

Salve ragazzi,
ho un dubbio riguardo la seguente cosa:
Ho una matrice $L$ a coefficienti in $F_{q^t}$, vedendo $F_{q^t}$ come spazio vettoriale su $F_q$ ne considero una base $B$.
Adesso, tramite la base $B$, posso vedere gli elementi di $L$ come vettori di $F_{q^t}$ su $F_q$ e li scrivo per componenti in una nuova matrice $H$, che questa volta avrà coefficienti in $F_q$. Quello che mi chiedevo è se consideriamo i due sistemi lineari $Lx^t=\underline{0}$ e $Hy^t=\underline{0}$, sono equivalenti?
Sicuramente potrebbero esserci delle righe che ho aggiunto dipendenti dalle altre, ma alla fine non ho fatto altro che vedere quel sistema su un altro campo. Come giustificare tutto questo?
Attendo con ansia vostri suggerimenti!

[j18eos]

"Mrhaha":...posso vedere gli elementi di $ L $ come vettori di $ F_{q^t} $ su $ F_q $ e li scrivo per componenti in una nuova matrice $ H $...

Non ho capito come costruisci \(H\)!

[Mrhaha]

Mi spiego meglio, facendo riferimento a quello che mi interessa maggiormente. Cito:

Si consideri la matrice $L$ con $w$ righe, $n$ colonne a elementi in $F_{q^t}$:
$$
L=
\left(
\begin{array} {llllrrrrr}
1 & \alpha^{i_1} & \alpha^{2i_1} & \cdots & \alpha^{(n-1)i_1} \\
1 & \alpha^{i_2} & \alpha^{2i_2} & \cdots & \alpha^{(n-1)i_2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
1 & \alpha^{i_w} & \alpha^{2i_w} & \cdots & \alpha^{(n-1)i_w}
\end{array}
\right).
$$
Dove $\alpha$ è una radice primitiva $n-$esima dell'unità su $F_{q^t}$.
Fissata una base $B$ di $\mathbb{F}_{q^t}$, visto come spazio vettoriale su $\mathbb{F}_q$, sostituendo ogni potenza di $\alpha$ in $L$ con la $t-$upla delle sue coordinate rispetto a $B$ si ottiene una $tw \times n$ matrice $H$ a elementi in $\mathbb{F}_q$. Le righe di $L$ possono essere linearmente dipendenti, ma tuttavia il sistema lineare $Lc^t=\underline{0}$ \`e equivalente al sistema $Hc^t=\underline{0}$.

La mia domanda è, perché i due sistemi sono equivalenti? Spero sia più chiaro ora!

[j18eos]

L'idea che mi sono fatto, è che \(\mathbb{F}_{q^t}\) è l'estenzione algebrica di \(\mathbb{F}_q\) mediante le radici \(t\)-esime dell'unità; sapendo come scrivere gli elementi di tale estensione riesci a concludere.

Sono stato chiaro? Devo dilungarmi?

[Mrhaha]

Se puoi dilungarti un altro pochino! xD
Cioè quello che mi verrebbe da fare sarebbe vedere un po' come gestire la base in termini di radici $t-$esime dell'unità. E' questo ciò che intendi?