Matrice ortogonale M

[shiva28]

Richiesta:
Determinare una matrice ortogonale M tale che il cambio di coordinate
$X = MX'$ porta Q a forma canonica.


Ho calcolato gli autovalori di $A$, che sono
$lambda_0=2$
$lambda_1=-2$
entrambi con molteplicità algebrica 1.

Dopo aver calcolato gli autospazi, ho determinato le loro basi.

$B_(V_2)={( ( sqrt(3) ),( 1 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) }$ base dell'autospazio $V_2={X in mathbb(R) | x-sqrt(3)y=0}$

$B_(V_-2)={( ( -sqrt(3)/3 ),( 1 ),( 0 ) ) }$ base dell'autospazio $V_(-2)={X in mathbb(R) |x+sqrt(3)/3 y=0, z=0}$



La matrice $M$ richiesta, è semplicemente costituita dai vettori colonna delle due basi trovate?

$M=( ( sqrt(3) , 0 , -sqrt(3)/3 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) ) \ \ \ \ ? ?$

[Pappappero1]

Dal momento che $A$ e' una matrice $3 \times 3$, non puoi avere solo due autovalori con molteplicita' algebrica $1$. In effetti, dal momento che ottieni che l'autospazio di $\lambda = 2$ ha dimensione $2$, la molteplicita' algebrica dell'autovalore $2$ deve essere almeno $2$.

Il resto direi che torna, ma per ottenere la matrice devi affiancare i vettori di una base ortonormale, e quella che hai scelto non e' ortonormale. In effetti, la matrice $M$ che ottieni non e' una matrice ortogonale.

[shiva28]

"Pappappero":Dal momento che $A$ e' una matrice $3 \times 3$, non puoi avere solo due autovalori con molteplicita' algebrica $1$. In effetti, dal momento che ottieni che l'autospazio di $\lambda = 2$ ha dimensione $2$, la molteplicita' algebrica dell'autovalore $2$ deve essere almeno $2$.

Il resto direi che torna, ma per ottenere la matrice devi affiancare i vettori di una base ortonormale, e quella che hai scelto non e' ortonormale. In effetti, la matrice $M$ che ottieni non e' una matrice ortogonale.

Si hai ragione, la molteplicità algebrica dell'autosalone $lambda_0$ è 2, ho sbagliato.

Quindi divido ogni singolo autovettore per la sua norma, poi costruisco $M$ affiancandoli come prima.
Facendo così ottengo la seguente matrice:

$M=( ( sqrt(3)/2 , 0 , -1/2 ),( 1/2 , 0 , sqrt(3)/2 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $

Che dovrebbe essere ortogonale, perchè se faccio $M^(-1) M=I_3$, dove $I_3$ è la matrice identità 3x3, quindi $M$ è ortogonale.

Giusto?

[Pappappero1]

Adesso e' ortogonale.

Se i conti che hai fatto sopra sono corretti, direi che diagonalizza $A$. Basta vedere cosa viene fuori se fai $M^T A M$.

[shiva28]

$M^T A \ M$ è la matrice diagonale con gli autovalori di A, ovvero

$M^T A \ M=( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , -2 ) ) $

Grazie mille per l'aiuto!

[shiva28]

Un'ultima domanda:
Perché se non normalizzo i 3 autovettori, non ottengo una matrice ortogonale?

$ M=( ( sqrt(3) , 0 , -sqrt(3)/3 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) )$ non ortogonale


Mentre se li normalizzo, M' è ortogonale?

$ M'=( ( sqrt(3)/2 , 0 , -1/2 ),( 1/2 , 0 , sqrt(3)/2 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $ ortogonale

Non capisco come la norma possa incidere sull'ortogonalità della matrice..

[shiva28]

Niente mi sono risposto da solo

"Una matrice quadrata è ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale dello spazio euclideo $mathbb(R)^n$ con l'ordinario prodotto scalare"

[vict85]

"Polar28":Niente mi sono risposto da solo

"Una matrice quadrata è ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale dello spazio euclideo $mathbb(R)^n$ con l'ordinario prodotto scalare"

Esatto. Le righe invece lo sono?