Matrice nilpotente es.
Una matrice quadrata $A$ viene detta nilpotente se esiste un intero positivo$ r$ tale che $A^r=0$. Siano $A$ e $B$ matrici nilpotenti aventi le stesse dimensioni e tali che $AB=BA$
Dimostrare che la matrice $AB$ e la matrice $A+B$ sono nilpotenti
Mi aiutereste?
Dimostrare che la matrice $AB$ e la matrice $A+B$ sono nilpotenti
Mi aiutereste?
Risposte
Tu hai che $A^r=0$ e $B^t=0$, inoltre $AB=BA$ quindi:
Per questo esercizio in realtà basterebbe che solo una delle due sia nilpotente, infatti:
$(AB)^r=A^rB^r=0*B^r=0$ O anche
$(AB)^t=A^tB^t=A^t*0=0$
Per l'altro esercizio invece è necessario che siano entrambe nilpotenti, però ti serve conoscere il binomio di Newton.
Devi espandere $(A+B)^n$ come faresti con un polinomio e devi dimostrare che esiste un $n$ per cui tutti gli addendi si annullano (Utilizzando sempre $A^r=0$ e $B^t=0$). Nel caso posso postarti tutti i calcoli.
Magari ci sono soluzioni alternative ma non ne vedo sinceramente.
Per questo esercizio in realtà basterebbe che solo una delle due sia nilpotente, infatti:
$(AB)^r=A^rB^r=0*B^r=0$ O anche
$(AB)^t=A^tB^t=A^t*0=0$
Per l'altro esercizio invece è necessario che siano entrambe nilpotenti, però ti serve conoscere il binomio di Newton.
Devi espandere $(A+B)^n$ come faresti con un polinomio e devi dimostrare che esiste un $n$ per cui tutti gli addendi si annullano (Utilizzando sempre $A^r=0$ e $B^t=0$). Nel caso posso postarti tutti i calcoli.
Magari ci sono soluzioni alternative ma non ne vedo sinceramente.
pensavo che $(AB)^(r)$ non poterlo porre auotomaticamente uguale a $A^(r)*B^(r)$ non so perché
cercavo di farlo tramite le componenti
ero arrivata a capire che bisognava usare il binomio di newton
ma con le componenti (spero di no, io avevo inziato)
o con A e B?
cercavo di farlo tramite le componenti
ero arrivata a capire che bisognava usare il binomio di newton
ma con le componenti (spero di no, io avevo inziato)
o con A e B?
Perché no? Sai che $AB=BA$
$(AB)^r=ABtimesABtimes...timesAB$ dove ci sono $r$ fattori
Poiché è commutativa puoi commutare come ti conviene meglio e associando
$(AtimesAtimes...timesA)times(BtimesBtimes...timesB)=A^r timesB^r$
È ovviamente decisiva la commutatività.
$(AB)^r=ABtimesABtimes...timesAB$ dove ci sono $r$ fattori
Poiché è commutativa puoi commutare come ti conviene meglio e associando
$(AtimesAtimes...timesA)times(BtimesBtimes...timesB)=A^r timesB^r$
È ovviamente decisiva la commutatività.
giusto? altrimenti viscivo il ragionamento e mi dite dove è sbagliato, se vi va:)
e se non riusciò mi scriverete i vostri calcoli, se vi va)
"anto_zoolander":
Perché no? Sai che $AB=BA$
$(AB)^r=ABtimesABtimes...timesAB$ dove ci sono $r$ fattori
Poiché è commutativa puoi commutare come ti conviene meglio e associando
$(AtimesAtimes...timesA)times(BtimesBtimes...timesB)=A^r timesB^r$
È ovviamente decisiva la commutatività.
ok grazie
"anto_zoolander":
Perché no? Sai che $AB=BA$
$(AB)^r=ABtimesABtimes...timesAB$ dove ci sono $r$ fattori
Poiché è commutativa puoi commutare come ti conviene meglio e associando
$(AtimesAtimes...timesA)times(BtimesBtimes...timesB)=A^r timesB^r$
È ovviamente decisiva la commutatività.
ma la commutatività implica l'associatività ?
e implica la permutabilità?
(A+B)^(r)= sommatoria per k che va da 0 a r di $ a^(r-k)*b^(k)$. Dev'essere uguale a 0. Come può avvenire questo? 1) l'addendo$ a^(r/2)b^(r/2)=0$ solo se$ r>=2s $oppure r>=2t; 2) tutti gli addendi con k>r/2 sono nulli solo se$ r>=2s-2$ (perché ciascuno deve avere in ordine rispettivamente$ s<=(r/2 )+ (1,...,r/2)$ oppure$ t<= (r/2 )- (1,..,r/2)$, che può essere vero solo se$ t=0$, quindi dev'esserci necessariamente la prima condizione, cioé affinché siano tutti nulli dev'essere s<=(r/2)+1, quindi$ r>=2(s-1)$, ossia$ r>=2s-2$. 3) Analogamento ho ragionato per gli addendi con$ k< r/2$, arrivando alla conclusione che dev'essere $r>=2t-2$. Poi ho unito le condizioni : con r>=2s siamo a posto per$ k=r/2$ e per $k>r/2$, ma non per$ k<=r/2$, perciò dobbiamo aggiungere $r>=2t-2$. Stesso ragionamento per l'unione per la soluzione alternativa che ho indicato
"Ernesto01":
Tu hai che $A^r=0$ e $B^t=0$, inoltre $AB=BA$ quindi:
Per questo esercizio in realtà basterebbe che solo una delle due sia nilpotente, infatti:
$(AB)^r=A^rB^r=0*B^r=0$ O anche
$(AB)^t=A^tB^t=A^t*0=0$
Per l'altro esercizio invece è necessario che siano entrambe nilpotenti, però ti serve conoscere il binomio di Newton.
Devi espandere $(A+B)^n$ come faresti con un polinomio e devi dimostrare che esiste un $n$ per cui tutti gli addendi si annullano (Utilizzando sempre $A^r=0$ e $B^t=0$). Nel caso posso postarti tutti i calcoli.
Magari ci sono soluzioni alternative ma non ne vedo sinceramente.
sì i calcoli mi sarebbero utili
ho ricevuto questi consigli:la condizione è che per ogni k sia (k=>s o (r-k)=>t) e (k=>t o (r-k)=>s). Quindi basta che r=>2max(t,s) non r=>2min(t,s) va controllato se è necessario o basta anche meno
è anzitutto necessario che r=>max(t,s) è poi sufficiente che r=>t+s-1 in caso contrario già per r=t+s-2 il termine A^(t-1)B^(s-1) sarebbe non nullo. Quindi è necessario e sufficiente che r=>max(t,s,t+s-1)
ma non riesco a capirli
è anzitutto necessario che r=>max(t,s) è poi sufficiente che r=>t+s-1 in caso contrario già per r=t+s-2 il termine A^(t-1)B^(s-1) sarebbe non nullo. Quindi è necessario e sufficiente che r=>max(t,s,t+s-1)
ma non riesco a capirli
Si io avevo pensato $r=2max(t,s)$. Se vuoi dimostrare che è il nilpotente basta questo.
Per trovare la costante minima invece, probabilmente hai ragione $r=t+s-1$ va bene, basta che espandi $(A+B)^(t+s-1)$
e noti che è una somma di termini del tipo $kA^xB^y$ con $x+y=t+s-1$ e $k$ costante.
Per cui hai che se $x=s$ e viceversa, quindi almeno uno dei 2 annulla il prodotto.
Per dimostrare che è la costante minima, direi che basta far vedere un controesempio in cui $r=t+s-2$ non va bene.
Per trovare la costante minima invece, probabilmente hai ragione $r=t+s-1$ va bene, basta che espandi $(A+B)^(t+s-1)$
e noti che è una somma di termini del tipo $kA^xB^y$ con $x+y=t+s-1$ e $k$ costante.
Per cui hai che se $x
Per dimostrare che è la costante minima, direi che basta far vedere un controesempio in cui $r=t+s-2$ non va bene.
non ho capito il $k$ costante
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