Matrice jacobiana di diffeomorfismi

[bestiedda2]

é vero che un'applicazione differenziabile iniettiva tale che la sua matrice jacobiana ha rango massimo è un diffeomorfismo. é vero anche il viceversa? Ovvero, la matrice jacobiana di un diffeomorfismo ha sempre rango massimo?

Io credo di si ma non riesco a dimostrarlo!

[Paolo902]

Ma un diffeomorfismo non è, in particolare, una mappa invertibile?

[bestiedda2]

si, e quindi?

[maurer]

Ti ricordi il teorema di derivazione della funzione composta?

[bestiedda2]

non sono per niente ferrato in questo campo effettivamente...ho provato a buttar giù una dimostrazione

se [tex]f : U \rightarrow V[/tex] è un diffeomorfismo con [tex]U \subset \mathbb{R}^n, V \subset \mathbb{R}^m[/tex] e [tex]g: V \rightarrow U[/tex] è la sua inversa, la matrice jacobiana di f [tex]J(f)(x)[/tex] è m x n e quella di g [tex]J(g)(y)[/tex] è n x m , allora la matrice jacobiana di [tex]g \circ f[/tex] è n x n e corrisponde a [tex]J(g(f(x)))^T J(f(x))^T=I_n[/tex]. Dato che il rango di [tex]I_n[/tex] è n e che [tex]rk(AB) \leq min(rk(A),rk(B))[/tex] allora il rango di entrambe le matrici è n per ogni x

sarà giusto?

[bestiedda2]

si intende n

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[maurer]

Corretto.
Solo una domanda: supponiamo [tex]n < m[/tex]. Sai cosa vuol dire che [tex]g : V \subset \mathbb R^m \to U \subset \mathbb R^n[/tex] è differenziabile?

[bestiedda2]

scriviamo [tex]g=(g_1,...,g_n)[/tex] con [tex]g_i: V \rightarrow \mathbb{R}[/tex]. Allora, se [tex]V[/tex] è aperto, [tex]g[/tex] è differenziabile se tutte le [tex]g_i[/tex] sono differenziabili, ovvero se per ogni [tex]v[/tex] tale che [tex]x+v \in V[/tex] si abbia [tex]g_i(x+v)-g_i(x)=\nabla g_i(x) \cdot v + o||v||[/tex] per [tex]||v|| \rightarrow 0[/tex]
Nel mio caso (nell'ambito della geometria differenziale) si intende che g sia [tex]C^\infty(V)[/tex] (e questa condizione implica la differenziabilità così come definita in precedenza)
Se [tex]V[/tex] non è un aperto allora è differenziabile se esiste una sua estensione su un aperto che sia differenziabile

[maurer]

"bestiedda2":
Se [tex]V[/tex] non è un aperto allora è differenziabile se esiste una sua estensione su un aperto che sia differenziabile

Ok, molto bene.

[Alexp1]

"bestiedda2":
é vero anche il viceversa? Ovvero, la matrice jacobiana di un diffeomorfismo ha sempre rango massimo?

Un diffeomorfismo per essere tale deve avere il differenziale invertibile, ossia jacobiano con rango massimo....è una definizione