Matrice Jacobiana

[LUCIANO741]

Buongiorno, sto cercando di approfondire alcuni concetti relativi alle superfici in forma parametrica.
La dispensa cui faccio riferimento è questa: https://we.tl/t-UfdYNxp33K
Non ho chiara l'equazione 2.8 nel senso che il "valore" del differenziale della parametrizzazione $X$ data dalla 2.1 dovrebbe essere:

$dx(h)$=$|((delxi_1)/(delu_1),(delxi_1)/(delu_2)),((delxi_2)/(delu_1),(delxi_2)/(delu_2)),((delxi_3)/(delu_1),(delxi_3)/(delu_2))|$*$h$ con $h$ vettore di $R^2$


grazie a tutti

[anto_zoolander]

Il differenziale $df(x)h$ è l'unica applicazione lineare per cui valga

$df(x) h =lim_(t->0)(f(x+th)-f(x))/t= (partialf(x)) /(partialh) $

Detto questo avendo $s(u, v) =(x(u, v), y(u, v), z(u, v) ) $ e fissando le basi canoniche di $RR^2,RR^3$ quella applicazione lineare potrà essere rappresentata da una matrice, essa sarà proprio la jacobiana e si costruisce come al solito si costruiscono le matrici di applicazioni lineari.

$ds(u, v)hat(i) = (partial) /(partial u) (x(u, v) hat(i) +y(u, v) hat(j) +z(u, v) hat(k)) = (partialx) /(partialu)(u, v) hat(i) +(partialy) /(partialu)(u, v) hat(j) +(partialz) /(partialu) (u, v) hat(k) $

$ds(u, v)hat(j) = (partial) /(partial v) (x(u, v) hat(i) +y(u, v) hat(j) +z(u, v) hat(k)) = (partialx) /(partialv)(u, v) hat(i) +(partialy) /(partialv)(u, v) hat(j) +(partialz) /(partialv) (u, v) hat(k) $

Ovvero hai scritto le immagini dei vettori della prima base come combinazione lineare dei vettori della seconda base. A questo punto basta metterli in matrice per colonne

$J_s(u, v) =underbrace( [( (partialx) /(partialu) (u, v), (partialx) /(partial v) (u, v)), ((partialy) /(partialu) (u, v), (partialy) /(partial v) (u, v)) , ((partialz) /(partialu) (u, v), (partialz) /(partialv) (u, v))]) _(ds(u, v) hat(i) // ds(u, v) hat(j)) $

[LUCIANO741]

ok grazie 1000 !!