Matrice invertibile

[Elena41]

Ciao!
Ho un dubbio circa l'inversione delle matrici.. C'è qualcuno che può aiutarmi a capire un po' meglio la questione?

L'esercizio è questo:

Data la matrice \(\displaystyle \begin{bmatrix} k & 0 & 0 \\ 2k & 0 & 0 \\ 3k & 0 & 0\end{bmatrix} \)

dimostrare che non ammette inversa qualunque sia \(\displaystyle k \neq 10 \)

Se \(\displaystyle k=10 \) che succede? Io ho calcolato il determinante ma mi viene zero... Come devo procedere?

[Kashaman]

A mio parere quella matrice non è mai invertibile. Qualunque sia $k$ il determinante è sempre $0$ infatti
$det((k,0,0),(2k,0,0),(3k,0,0))=k*det((0,0),(0,0))+0*det((2k,0),(3k,0))+0det((2k,0),(3k,0))=k*0+0*0+0*0=0 , AA k$
Aspetto smentite, se ve ne sono.

[Elena41]

Anche secondo me.. Però la risposta ritenuta corretta dal quiz che stavo facendo riportava "non ammette inversa qualunque sia \(\displaystyle k≠10 \)" e non so cosa possa centrare \(\displaystyle k≠10 \).

Grazie per la conferma!

[Gi81]

Beh, effettivamente l'affermazione
La matrice \(\displaystyle \begin{bmatrix} k & 0 & 0 \\ 2k & 0 & 0 \\ 3k & 0 & 0\end{bmatrix} \)non ammette inversa qualunque sia \(\displaystyle k \neq 10 \)

è vera. Che poi quella matrice non ammette inversa anche per $k=10$ è altrettanto vero.
DIrei che è la solita "domanda trabocchetto" tipica dei quiz. Per curiosità, quali erano le altre opzioni?

[Elena41]

Hai ragione.. Infatti, mi ha un po' fregato.. Le altre risposte erano:

- ammette inversa se \(\displaystyle k=2k=3k \)
- al variare di \(\displaystyle k \) non è mai diagonalizzabile
- ha rango \(\displaystyle 1 \) se \(\displaystyle k \neq 10 \)