Matrice inversa quadrata

[lepre561]

Una matrice inversa si può ottenere solo se quadrata??'

[staultz]

Dipende cosa intendi per "matrice inversa" di una matrice rettangolare secondo me.
Di sicuro non puoi definirla nello stesso modo in cui definisci quella quadrata: AX = XA = I con X intesa come inversa di A. Questo perché non sarà ovviamente unica (verifichi facilmente che il prodotto non potresti farlo per come è definito sia a destra che sinista!)

[f451092]

Una matrice può essere inversa se e solo se è quadrata e se ha rango = n.
Esempio:

Abbiamo una matrice n*n (in questo caso con n=3), quindi avente numero di righe e colonne uguali:
\begin{bmatrix}1 & -1 & 1 \\0 & 1 & 1\\1 & 0 & 3 \end{bmatrix}
Questa matrice è invertibile se ha rango = n (quindi n=3). Per sapere che rango ha, bisogna fare la riduzione di Gauss in discesa e trovare il numero dei pivot nella matrice. Dopo questo "processo" si otterrà una matrice triangolare superiore e se i numeri della diagonale sono "non nulli" (quindi diversi da 0) allora la matrice è invertibile.
Spero di esserti stato d'aiuto. Saluti

P.S: Ho dato per scontato che tu sapessi che per ottenere la matrice inversa si deve porre: A|I = A^-1
con I = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
e fare la riduzione di Gauss-Jordan sulla matrice estesa, ottenendo: I|A^-1 = A

[lepre561]

"f451092":Una matrice può essere inversa se e solo se è quadrata e se ha rango = n.
Esempio:

Abbiamo una matrice n*n (in questo caso con n=3), quindi avente numero di righe e colonne uguali:
\begin{bmatrix}1 & -1 & 1 \\0 & 1 & 1\\1 & 0 & 3 \end{bmatrix}
Questa matrice è invertibile se ha rango = n (quindi n=3). Per sapere che rango ha, bisogna fare la riduzione di Gauss in discesa e trovare il numero dei pivot nella matrice. Dopo questo "processo" si otterrà una matrice triangolare superiore e se i numeri della diagonale sono "non nulli" (quindi diversi da 0) allora la matrice è invertibile.
Spero di esserti stato d'aiuto. Saluti

grazie gentilissimo

[staultz]

"f451092":Una matrice può essere inversa se e solo se è quadrata e se ha rango = n.

In realtà, per come è assiomaticamente definito l'"elemento inverso", una pseudo-inversa esiste anche nel caso di una non quadrata: https://it.wikipedia.org/wiki/Pseudo-inversa
Ma non credo fosse ciò che cercava l'utente

PS: Altra condizione di invertibilità che puoi guardare è che il determinante sia diverso da zero, infatti è dimostrabile che una matrice è invertibile se e solo se il determinante della matrice è diverso da zero!

[f451092]

"staultz":[quote="f451092"]Una matrice può essere inversa se e solo se è quadrata e se ha rango = n.

In realtà, per come è assiomaticamente definito l'"elemento inverso" una pseudo-inversa esiste anche nel caso di una non quadrata: https://it.wikipedia.org/wiki/Pseudo-inversa
Ma non credo fosse ciò che cercava l'utente [/quote]
Sicuramente studierà l'invertibilità destra e sinistra, anche se sono un po' diverse dalle matrici quadrate. Le matrici quadrate sono sia suriettive che iniettive (quindi bigettive), mentre la pseudo-inverse possono essere suriettive (quindi invertibili a destra nel caso in cui la matrice abbia n righe > m colonne) o iniettive (invertibili a sinistra nel caso in cui la matrice n righe < m colonne).

[staultz]

"f451092":Sicuramente studierà l'invertibilità destra e sinistra [...]

L'avevo intesa come curiosità la domanda. Ma per gli esercizi sicuramente